Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 8. — С. 29.
$AB$ — хорда окружности,$C$ и$D$ — точки этой окружности, лежащие по одну сторону от$AB$. Прямая$CD$ пересекает прямую$AB$ в точке$M$ ($C$ между$M$ и$D$, $A$ между$M$ и$B$). Доказать, что $$ \dfrac{|AC|\cdot|AD|}{|AM|}=\dfrac{|BC|\cdot|BD|}{|BM|}. $$Решить уравнение $$ \overline{xy}{}^m=\underbrace{\overline{xyy\ldots y}}_{m+1}, $$ где
$m$ — целое число.Через вершины
$A$, $B$ и$C$ треугольника$ABC$ проведены прямые, пересекающиеся в одной точке$O$. Обозначим$\alpha=\widehat{OAC}$, $\beta=\widehat{OBA}$, $\gamma=\widehat{OCB}$, причём каждый из этих углов будем считать положительным, если он содержит соответствующий внутренний угол треугольника или сам содержится в нём, равным нулю, если его стороны совпадают, и отрицательным в противном случае. Пусть$O$ — одна из шести замечательных точек треугольника$ABC$ — центр вписанной или центр описанной окружности, ортоцентр или один из трёх центров вневписанных окружностей. Доказать, что тогда$\alpha+\beta+\gamma=\dfrac\pi2$.
Ответы, указания, решения
- Указание. Если
$R$ — радиус описанной окружности треугольника$ABC$, то$|BC|\cdot|AC|=2R\cdot h_c$. $x=1$, $y=0$.