Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 8. — С. 16.
Дан треугольник
$ABC$ со сторонами$a$, $b$, $c$ и медианами$m_a$, $m_b$, $m_c$. Доказать неравенства- $$\dfrac{m_a^2}{a^2}+\dfrac{m_b^2}{b^2}+\dfrac{m_c^2}{c^2}\ge\dfrac94;$$
- $$\dfrac{m_a}a+\dfrac{m_b}b+\dfrac{m_c}c\ge\dfrac{3\sqrt3}2.$$
Когда в этих неравенствах достигается равенство?
Дан произвольный выпуклый четырёхугольник
$ABCD$ (возможно, вырожденный — две его вершины могут совпадать). Точки$P$, $K$, $S$, $N$ — середины сторон$AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно. Пусть$(AK)\cap(BN)=L$; $(KD)\cap(NC)=M$; $(PC)\cap(BS)=Q$; $(AS)\cap(PD)=T$. Доказать, что- $$\dfrac{S_{KMNL}}{S_{ABCD}}\le\dfrac13;$$
- $$\dfrac13\le\dfrac{S_{KMNL}+S_{PQST}}{S_{ABCD}}\le\dfrac12.$$
- Снова
$ABCD$ — произвольный выпуклый четырёхугольник, точки$E$, $F$, $G$, $H$ — середины сторон$AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно. Обозначим$(AF)\cap(BG)=K$; $(BG)\cap(CH)=L$; $(CH)\cap(DE)=M$; $(DE)\cap(AF)=N$. Доказать, что $$ \dfrac16\le\dfrac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}\le\dfrac15. $$
Ответы, указания, решения
- Равенство достигается лишь при
$a=b=c$.