Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1976. — № 8. — С. 56.
На рисунке изображён контур колбы, состоящий из дуг равных окружностей. Разрежьте её по двум прямым так, чтобы из получившихся частей можно было сложить квадрат. Можно ли сложить аналогичным образом квадрат из второй фигуры?
Группа из 21 мальчика получила 200 орехов. Доказать, что как бы ребята ни разделили эти орехи, найдутся двое, которым достанется поровну орехов (может быть, ни одного ореха).
В 1815 году английский физик Чилдрен проделал такой опыт. Две платиновые проволочки одинаковых длин, но разных диаметров, он подключал к батарее Вольта. Один раз проволочки были соединены последовательно, а другой — параллельно. В первом случае раскалялась только тонкая проволочка, а во втором — только толстая.
И целых 25 лет не могли учёные объяснить результаты этого эксперимента. А вы можете?
Указание: считать, что количество теплоты, отдаваемое проводником окружающему пространству, пропорционально площади поверхности проводника и разности температур проводника и окружающего пространства.
Найти все выпуклые многоугольники, обладающие следующим свойством: основание перпендикуляра, опущенного из любой точки внутри многоугольника на любую сторону, лежит внутри этой стороны.
Ответы, указания, решения
См. рисунки.
- Пусть ни один мальчик не получил нуль орехов. Тогда возьмём одного из ребят и отберём у него все орехи. Пусть далее ни один не получил ровно 1 ореха. Возьмём одного из ребят, получивших больше 1 ореха, и оставим ему ровно 1 орех. И так далее (если кто-то из ребят получил рассматриваемое число орехов, то переходим к следующему числу). Но $$ 1+2+\ldots+21=231\gt200. $$
Рассмотрим случай последовательного соединения проволочек. В этом случае в цепи течёт ток
$I=\dfrac{U}{R_1+R_2}$, где$U$ — напряжение в цепи,$R_1=\rho\dfrac l{\pi r_1^2}$ — сопротивление тонкой проволочки (радиуса$r_1$), $R_2=\rho\dfrac l{\pi r_2^2}$ — сопротивление толстой проволочки (радиуса$r_2$). Мощность, выделяемая при прохождении тока на каждом из сопротивлений, равна
$N=I^2R$, т. е. $$ N_1=\dfrac{U^2}{(R_1+R_2)^2}R_1,\quad N_2=\dfrac{U^2}{(R_1+R_2)^2}R_2. $$ Согласно условию в установившемся режиме, т. е. когда температура проволочек не меняется, каждая из проволочек выделяет в окружающее её пространство мощность, равную$N'=ks(T-T_0)$, где$k$ — коэффициент пропорциональности,$s=2\pi rl$ — площадь поверхности проволочки,$T$ — температура проволочки,$T_0$ — температура окружающей среды. Очевидно, что в установившемся режиме$N'=N$, т. е. $$ \begin{aligned} \dfrac{U^2}{(R_1+R_2)^2}R_1&=k\cdot2\pi r_1l(T_1-T_0),\\ \dfrac{U^2}{(R_1+R_2)^2}R_2&=k\cdot2\pi r_2l(T_2-T_0). \end{aligned} $$ (Здесь$T_1$ и$T_2$ — температуры тонкой и толстой проволочек соответственно.) Поделив почленно первое равенство на второе, получим $$ \dfrac{T_1-T_0}{T_2-T_0}=\dfrac{R_1}{R_2}\cdot\dfrac{r_2}{r_1}. $$ Так как$r_2\gt r_1$ и$R_1\gt R_2$, то $$ T_1-T_0\gt T_2-T_0,\quad\text{или}\quad T_1\gt T_2. $$Теперь рассмотрим параллельное соединение проволочек. В этом случае падение напряжения на сопротивлениях
$R_1$ и$R_2$, одно и то же, и мощности, выделяемые при прохождении тока, равны $$ N_1=\dfrac U{R_1},\quad N_2=\dfrac U{R_2}. $$Как и в первом случае, в установившемся режиме $$ \begin{aligned} \dfrac U{R_1}&=k\cdot 2\pi r_1l(T_1-T_0),\\ \dfrac U{R_2}&=k\cdot 2\pi r_2l(T_2-T_0), \end{aligned} $$ откуда $$ \dfrac{T_1-T_0}{T_2-T_0}=\dfrac{R_2}{R_1}\cdot\dfrac{r_2}{r_1}. $$ Подставив значения
$R_1=\rho\dfrac l{\pi r_1^2}$ и$R_2=\rho\dfrac l{\pi r_2^2}$, получим $$ \dfrac{T_1-T_0}{T_2-T_0}=\dfrac{r_1}{r_2}\lt1,\quad\text{или}\quad T_1\lt T_2. $$ Итак, в первом случае раскалялась тонкая проволочка, а во втором — толстая.- Указание. В многоугольнике не должно быть тупых углов, поэтому
подходят лишь треугольники (с углами не более
$90^\circ$) и прямоугольник.
