Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 7. — С. 47.
Дано уравнение $$ x(x+1)+(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+\ldots+(x+n)(x+n+1)=1000x+13. $$
Имеет ли это уравнение целочисленный корень хотя бы при одном натуральном
$n$? Что больше:
$5^{15}$ или$3^{23}$? Какое двузначное число равно квадрату суммы его цифр?
Два игрока играют в крестики-нолики в кубе
$3\times3\times3$ (состоящем из 27 кубиков$1\times1\times1$). Одним ходом каждый «зачёркивает» один кубик. Цель игры — первым поставить 3 своих значка на одной прямой. Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнёр?В множестве треугольников с заданным периметром
$p$ найти треугольник, произведение длин биссектрис которого максимально.
Ответы, указания, решения
- Нет, не имеет: левая часть чётна, а правая нечётна при целых
$n$ и$x$. $3^{23}\gt5^{15}$. Указание.$5^{15}=5\cdot(5^2)^7$; $3^{23}=9\cdot(3^3)^7$. $81=9^2$. Указание. Рассмотреть уравнение$10a+b=(a+b)^2$, из которого следует, что$a=5-b+\sqrt{25-9b}$. - Начинающий, если первым ходом он зачеркнёт центральный куб.
- Равносторонний треугольник.