Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1976. — № 7. — С. 54.
В некотором царстве каждые двое — либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в государстве могут стать друзьями.
Для каких простых чисел
$p$ числа$2p+1$ и$4p-1$ тоже простые?Найти множество центров тяжести треугольников
$OBA$, у которых вершина$O$ фиксирована, а вершины$A$ и$B$ лежат на двух окружностях одинакового радиуса. А что получится, если радиусы окружностей не равны?Докажите, что плоскость можно раскрасить 9 красками так, что никакие две точки одного цвета не будут находиться на расстоянии 1 м.
Пароход плывёт из города
$A$ в город$B$ и обратно. Одинаковое ли время затратит пароход, если города находятся:- на берегу реки,
- на берегу озера?
Скорость парохода относительно воды постоянна.
Ответы, указания, решения
- Из условия следует, что если
$A$ и$B$ — друзья, то$C$ либо их общий враг, либо их общий друг (иначе им троим не помириться). Поэтому в государстве есть два множества людей: люди из одного множества — друзья, а из разных — враги. Осталось всем людям из одного множества изменить свои отношения на противоположные. $p=3$. Указание. Рассмотрите остатки, получающиеся при делении указанных чисел на 3.- Круг удвоенного радиуса (кольцо, если радиусы окружностей не равны).
- Разбейте плоскость квадратной сеткой со стороной квадратов 60 см, в квадрате
$180~\text{см}\times180~\text{см}$ квадратики закрасьте в разные цвета, а потом периодически продолжайте раскраску. - Рейс займёт больше времени, если города находятся на берегу реки.