Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 6. — С. 56.
В основании прямого параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит naраллелограмм$ABCD$ с острым углом$\widehat{DAB}=\gamma$. Диагонали$AB_1$ и$BC_1$ боковых граней образуют с плоскостью основания углы$\alpha$ и$\beta$. Определить угол между этими диагоналями.Даны географические координаты двух точек на сфере радиуса
$R$: $\phi_1$, $\theta_1$ и$\phi_2$, $\theta_2$ ($\phi$ — широта,$\delta$ — долгота). Определить расстояние по сфере между этими точками.Пусть высоты треугольника
$ABC$ пересекаются в точке$H$. Докажите, что$|AH|=2R|{\cos\widehat A}|$, где$R$ — радиус описанной окружности треугольника;$|AH|=|BC|\cdot|{\ctg\widehat A}|$.
В частности,
- если
$|AH|=R$, то$\widehat A=60^\circ$ или$\widehat A=120^\circ$; - если
$|AH|=|BC|$, то$\widehat A=45^\circ$ или$\widehat A=135^\circ$.
Заметим, что два эти примера приведены в качестве задач 5.1 и 5.3 в брошюре «Математические соревнования. Геометрия» («Наука», 1974), где указаны неправильные ответы (забыты тупые углы). См. также журнал «Математика в школе», 1970, № 4, с. 44; 1974, № 5, с. 73.
Дан треугольник
$ABC$ со сторонами$a$, $b$, $c$; $r$ — радиус вписанной в него окружности,$R$ — описанной,$S$ — его площадь. Доказать, что- $$\tg\dfrac{\widehat A}2+\tg\dfrac{\widehat B}2+\tg\dfrac{\widehat C}2 \le\dfrac{9R^2}{4S};$$
- $$\dfrac{\cos^2\dfrac{\widehat A}2}a+\dfrac{\cos^2\dfrac{\widehat B}2}b +\dfrac{\cos^2\dfrac{\widehat C}2}c\ge\dfrac{27r}{8S}.$$
Для какого треугольника достигается равенство?