Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 5. — С. 72.
Можно ли расставить в десяти кружках на рисунке числа 0, 1, 2,
$\ldots$, 9 так, чтобы суммы четырёх чисел на каждой из прямых были равны?
Можно ли расставить на шахматной доске
- 5 ладей и 5 коней,
- 6 ладей и 6 коней
так, чтобы ни одна фигура не била другую?
Жильцы многоэтажного дома пользуются лифтом и для спуска, и для подъёма. Если нет вызова и лифт свободен, то он автоматически направляется на некоторый определённый этаж. На какой этаж надо направлять лифт, чтобы среднее время ожидания лифта всеми жильцами было наименьшим?
- Найти простое число
$p$, если известно, что числа$p^2-2$, $2p^2-1$ и$3p^2+4$ также простые. В множестве первых десяти тысяч натуральных чисел возьмём подмножество чисел, оканчивающихся на 1 и которые могут быть представлены в виде
$8^m+5^n$ ($m$, $n$ — натуральные). Сколько элементов содержит это подмножество?
Ответы, указания, решения
- Нельзя.
- а) См. рисунок. б) Нельзя.
- На первый или на второй. Если выбран какой-либо другой этаж, то уменьшение его не скажется на среднем времени ожидания жильцов этого и более высоких этажей (поскольку они ездят не только вниз, но и вверх), но уменьшит время ожидания для жильцов более низких этажей.