Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1976. — № 5. — С. 73.
Три гангстера украли из сейфа 10 бриллиантов общей стоимостью
$4\,000\,000$ долларов. При этом они рассчитывали разделить бриллианты так, чтобы каждому досталось не меньше$1\,000\,000$ долларов. При погоне один из бриллиантов стоимостью$600\,000$ долларов потерялся, и такой раздел стал невозможен. Мог ли он быть возможен вначале, или гангстеры заведомо ошибались?
Известно, что вес тела на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. Представьте себе, что вам предложили отправиться на Луну и проверить этот факт экспериментально. Какое оборудование вы возьмёте с собой?
Про три точки
$A$, $B$ и$C$ известно, что для любой четвёртой точки$M$ плоскости расстояние от$A$ до$M$ не превосходит хотя бы одного из расстояний: от$B$ до$M$ или от$C$ до$M$. Доказать, что точка$A$ лежит на отрезке$BC$. 
Из двух одинаковых кусков одного и того же металла изготовили две проволоки, одна из которых длиннее другой в 4 раза. Как по-вашему, одинаковы или различны сопротивления этих проволок?
Имеются 6 одинаковых по виду монет. Четыре из них настоящие, по 4 г каждая, а две фальшивые общим весом 8 г, одна чуть более тяжёлая, другая чуть более лёгкая. Хватит ли четырёх взвешиваний, чтобы с помощью чашечных весов (без гирь) найти обе фальшивые монеты?
Ответы, указания, решения
- Пусть бриллианты стоят
$40\,000$, $60\,000$, $70\,000$, $80\,000$, $600\,000$, $610\,000$, $620\,000$, $630\,000$, $640\,000$, $650\,000$ долларов. Тогда все условия задачи выполнены. - Необходимо взять с собой тело, вес которого измерен на Земле (всё равно, каким способом), и пружинные весы (динамометр). Рычажные (чашечные) весы для эксперимента не годятся. Их показания на Земле и на Луне будут одинаковыми: сами гири «уменьшатся» в весе в 6 раз.
- Указание. Множество точек
$M$, для которых$|AM|\lt|BM|$, — это полуплоскость, содержащая точку$A$ и ограниченная срединным перпендикуляром к отрезку$AB$. Аналогично рассматриваем точки$A$ и$C$. Чтобы объединение двух полуплоскостей покрывало всю плоскость, надо, чтобы ограничивающие их прямые были параллельны, а точка$A$ лежала между этими прямыми. - Одинаковы.
- Хватит. Указание. При первом взвешивании положите на каждую чашку весов по 3 монеты.