Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1976. — № 3. — С. 68.
— У нас в классе 35 человек. И можешь себе представить, каждый дружит ровно с 11 одноклассниками...
— Не может этого быть, — сразу ответил своему приятелю Витя Иванов, победитель олимпиады.
Почему он так решил?
Виктор пускал в ванне пластмассовый кораблик, нагруженный металлическими деталями от конструктора. Вдруг кораблик наклонился, и детали высыпались в воду. Изменился ли уровень воды в ванне?
В олимпиаде участвовало 55 школьников. Все они сдали свои работы. При проверке каждой задачи ставилась одна из трёх оценок: «
$+$ » — задача решена, «$-$ » — задача решалась, но не решена, «0» — задача не решалась. После проверки всех работ оказалось, что ни в каких двух работах не совпало одновременно количество оценок «$+$ » и оценок «$-$ ». Какое наименьшее число задач могло быть предложено на олимпиаде?Выезжая за город на прогулку, хозяйка взяла с собой различные продукты. Так как уксус и подсолнєчное масло не смешиваются, она налила обе жидкости в одну бутылку.
Можно ли извлечь немного уксуса для салата отцу и немного масла для салата детям так, чтобы остальное масло и остальной уксус остались в бутылке?
Ответы, указания, решения
- Надо 35 точек соединить отрезками так, чтобы каждая была соединена с 11 другими. Тогда концов отрезков будет
$35\cdot11$, но это число — нечётное. - Уровень воды понизился.
- Девять задач. Решение. Пусть было предложено
$a$ задач. Тогда работ, в которых все задачи решались, будет не более$a+1$ (от$a$ плюсов и 0 минусов до 0 плюсов и$a$ минусов); работ, в которых лишь одна задача не решалась (одна оценка «0»), будет не более$a$ (от$a-1$ плюсов и 0 минусов до 0 плюсов и$a-1$ минусов) и т. д. Сумма$(a+1)+a+\ldots+1$ равна$\dfrac{(a+1)(a+2)}2$. При$a=9$ будет$\dfrac{10\cdot11}2=55$. - Сверху в бутылке находится масло. Но если закрытую бутылку перевернуть «вверх ногами», то внизу, у горлышка, окажется уксус. Так что можно выливать из бутылки и масло, и уксус.