Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 2. — С. 31.
Докажите, что в квадрате чисел $$ \colsep{3pt}{\begin{array}{ccccc} *&\times&*&=&b\\ :&&\times&&-\\ *&:&*&=&*\\ =&&=&&=\\ *&+&*&=&* \end{array}} $$ в котором
$*$ заменяет некоторые натуральные числа, число$b$ всегда равно шести. Сколькими разными способами можно расшифровать эту запись?Ни одно из трёх целых чисел
$a$, $b$, $c$ не делится на три. Докажите, что тогда делится на три$a^2+b^2+c^2$; $a^{2k}+b^{2n}+c^{2m}$.
Докажите, что если существуют такие натуральные числа
$m$ и$k$, что $$ A=12^{4k+3}-11^m\lt200, $$ то число$A$ — простое.Известно, что для данного
$n$ любой набор из$k$ натуральных различных чисел, ни одно из которых не больше$n$, содержит хотя бы три таких элемента, что существует треугольник со сторонами, длины которых выражаются этими числами.Какое наименьшее значение может принять
$k$ как функция от$n$? На сторонах
$AB$, $BC$ и$CA$ треугольника$ABC$ взяты соответственно точки$M$, $N$ и$T$ такие, что $$ \dfrac{|AM|}{|MB|}=m,\quad\dfrac{|BN|}{|NC|}=n,\quad\dfrac{|CT|}{|TA|}=t. $$ Известно, что прямые$MN$ и$BT$ пересекаются в точке$O$. Найти отношение$\dfrac{|BO|}{|OT|}$.