Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 12. — С. 54.
Доказать, что $$ 1^{100}+2^{100}+3^{100}+\ldots+999\,999^{100} $$ делится на
$100\,000$. Доказать, что если
$a$ — нечётная цифра, то$a^{36}-1$ делится на 1976.Вычислить сумму $$ \sum\limits_{x=1}^n\dfrac1{x^3+6x^2+11x+6}. $$
Пусть
$a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника,$p$ — его полупериметр,$p_a=p-a$, $p_b=p-b$, $p_c=p-c$; $r_a$, $r_b$, $r_c$ — радиусы вневписанных окружностей. Доказать следующие соотношения между элементами этого треугольника:- $$\dfrac{p_a^2}{r_br_c}+\dfrac{p_b^2}{r_cr_a}+\dfrac{p_c^2}{r_ar_b}=1;$$
- $$\dfrac{p_ap_b}{r_c^2}+\dfrac{p_bp_c}{r_b^2}+\dfrac{p_cp_a}{r_b^2}=1.$$
Решить уравнения
- $$\overline{xyz}=\overline{yz}{}^2;$$
- $$x^y=\overline{yx};$$
- $$x^{y+2}=\overline{yx}.$$
Ответы, указания, решения
- Указание.
$x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)$. - а)
$\overline{xyz}=625$; б)$\overline{yx}=25$; в)$\overline{yx}=32$.