Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 11. — С. 21.
На плоскости на прямой
$p$ задан отрезок$AB$ длины$l$. Его можно перемещать по плоскости, но так, чтобы:- в любой момент он был параллелен прямой
$p$; - траектории точек
$A$ и$B$ не пересекались; - в конечном положении отрезок снова попал на прямую
$p$.
Насколько далеко может сместиться по прямой
$p$ этот отрезок?- в любой момент он был параллелен прямой
Решить уравнения
($\overline{xyz}$ — число, записанное цифрами$x$, $y$, $z$ и т. п.):- $$(x+y+z)^3=\overline{xyz};$$
- $$(x+y+z+u)^3=\overline{xyzu};$$
- $$(x+y)^3=\overline{xyx};$$
- $$\left(\dfrac{x+y+z}2\right)^3=\overline{xyz}.$$
$a$, $b$, $c$ — действительные положительные числа.- Доказать, что $$ (abc)^{\frac{\scriptstyle a+b+c}{\scriptstyle3}}\le a^ab^bc^c. $$
$a\lt b\lt c$. Доказать, что $$ a^cb^ac^b\lt a^bb^cc^a\lt a^ab^bc^c. $$
Ответы, указания, решения
Сколь угодно далеко (см. рисунок; разными цветами показаны траектории концов отрезка).
$x=5$, $y=1$, $z=2$; $x_1=4$, $y_1=9$, $z_1=1$, $u_1=3$; $x_2=5$, $y_2=8$, $z_2=3$, $u_2=2$; $x=3$, $y=4$; $x=7$, $y=2$, $z=9$.
- Воспользоваться неравенством
$\left(\dfrac xy\right)^{x-y}\ge1$. - Воспользоваться выпуклостью функции
$y=\log_ax$ ($0\lt a\lt1$).
- Воспользоваться неравенством
