Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 11. — С. 8.
Доказать, что из любого множества
$10^n$ натуральных чисел можно выкинуть одно число, а оставшиеся разбить на подмножества по 3 числа в каждом так, что сумма чисел в каждом подмножестве даст при делении на 3 остаток 0 или 1.Доказать неравенства:
- $$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\gt\left|\dfrac cb-\dfrac ca\right|\sqrt{ab},$$
где
$0\lt c\lt a$, $c\lt b$; - $$\textstyle\sum\limits_{i=1}^k(a_{i1}a_{i2}\ldots a_{in})
^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle n}}\le\left[\prod\limits_{j=1}^n{}
(a_{1j}+a_{2j}+\ldots+a_{kj})\right]^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle n}},$$
где
$a_{ij}\ge0$; - $$\left(\dfrac ca+\dfrac cb\right)\sqrt{ab}\lt\sqrt{(a+c)(b+c)}+
\sqrt{(a-c)(b-c)}\le2\sqrt{ab},$$
где
$0\lt c\lt a$, $c\lt b$.
- $$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\gt\left|\dfrac cb-\dfrac ca\right|\sqrt{ab},$$
где