Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 10. — С. 20.
Докажите следующие соотношения между элементами треугольника
($A$, $B$ и$C$ — вершины треугольника;$O$ — центр вписанного круга;$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы с вершинами$A$, $B$ и$C$ соответственно;$a$, $b$, $c$ — длины сторон, противолежащих соответственно углам$\alpha$, $\beta$, $\gamma$; $R$ — радиус описанного круга;$h_a$, $h_b$, $h_c$ — длины высот, опущенных на стороны$a$, $b$ и$c$, соответственно или на их продолжения;$S$ — площадь треугольника$ABC$): - $$\dfrac{|AO|^2}{bc}+\dfrac{|BO|^2}{ca}+\dfrac{|CO|^2}{ab}=1;$$
- $$\dfrac{|AO|^2}{h_a}+\dfrac{|BO|^2}{h_b}+\dfrac{|CO|^2}{h_c}=2R;$$
- $$S=\dfrac12(|AO|^2\sin\alpha+|BO|^2\sin\beta+|CO|^2\sin\gamma);$$
- $$S=\dfrac12\sqrt{|AO|^2h_bh_c+|BO|^2h_ch_a+|CO|^2h_ah_b}.$$
Обозначим через
$O$ центр окружности, описанной вокруг треугольника$ABC$, через$H$ — точку пересечения высот, через$O_1$ — центр вписанной окружности и через$O_2$ — центр окружности, касающейся стороны$BC$ и продолжений сторон$AB$ и$AC$. Доказать, что если$|O_1O|=|O_1H|$, то один из углов треугольника равен$60^\circ$, a если$|O_2O|=|O_2H|$, то либо$\widehat A=60^\circ$, либо величина одного из углов$B$, $C$ равна$120^\circ$. Построить прямоугольный треугольник с данной гипотенузой, стороны которого образуют геометрическую прогрессию.