Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1975. — № 9. — С. 70.
- За круглым столом сидят 50 гостей, из которых 25 — женщины. Доказать, что найдётся гость, оба соседа которого — женщины.
- Пусть женщин — 26, и пусть двое гостей разбили свои приборы. Доказать, что стол можно повернуть так, что оба разбитых прибора окажутся у женщин.
Вместо букв на рисунке надо подобрать цифры (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры), чтобы выполнялись указанные соотношения.
Три товарища Петя, Толя и Витя подошли к стоянке автомашин и мотоциклов. Любуясь машинами, Петя от нечего делать сосчитал все транспортные средства — их оказалось 45. Толя сосчитал все колёса — их оказалось 115. Мотоциклов с коляской было в два раза меньше, чем мотоциклов без коляски. Сколько на стоянке было машин и сколько мотоциклов?
Запишите в строчку одно за другим 10 первых простых чисел в возрастающем порядке. В полученном многозначном числе зачеркните половину цифр так, чтобы число, образованное оставшимися цифрами, было
- наименьшим;
- наибольшим.
В кастрюлю с водой опустили маленький сосуд, в котором тоже находится вода. Кастрюлю ставят на газ, вода в кастрюле начинает кипеть. Будет ли кипеть вода в маленьком сосуде?
Ответы, указания, решения
- Разобьём 50-угольник на два правильных
25-угольника. Поскольку женщин 25, то в вершинах одного из 25-угольников не меньше 13 женщин. Но
$13\gt\dfrac{25}2$, поэтому две женщины сидят в соседних вершинах 25-угольника, а между ними только одна вершина 50-угольника — искомая. Пусть гости, у которых разбиты приборы, соединены диагональю длины
$a$. Нужно найти женщин, удалённых друг от друга на$a$. Если
$a$ — не наибольшая диагональ, то от каждой женщины идут две такие диагонали, всего$2\cdot26=52$ диагонали, а диагоналей длины$a$ всего 50; значит, какие-то две из них совпадают. Пусть это диагональ$AB$. Тогда$AB=a$, $A$ и$B$ — искомые женщины.Если
$a$ — максимальная диагональ, то от каждой женщины идёт одна такая диагональ; их 26, а диагоналей всего 25, опять две диагонали совпадают.
- Разобьём 50-угольник на два правильных
25-угольника. Поскольку женщин 25, то в вершинах одного из 25-угольников не меньше 13 женщин. Но
$$ \colsep{2pt}{\begin{array}{rcrcr} 22&\times&13&=&286\\ \mathclap+\enspace&&\mathclap\times\enspace&&\mathclap-\enspace~\\ 97&+&5&=&102\\\hline 119&+&65&=&184 \end{array}} $$
Указание. Легко видеть, что
$\text{А}=9$, $\text{К}=0$, $\text{Р}=1$. - 6 машин, 39 мотоциклов, из них 13 с коляской.
- а)
$11\,111\,229$; б)$77\,192\,329$. Указание. Впереди надо оставлять наименьшие (наибольшие) цифры, пока это возможно. - Вода в маленьком сосуде кипеть не будет.