Копылов Г. И.

Задача на домКопылов Г. И. Задача на дом // Квант. — 1975. — № 9. — С. 24‍—‍29.‍‍

— Я люблю решать трудные задачи. Люблю искать новые доказательства теорем и читать книги об учёных. Учусь я с удовольствием, на школьной олимпиаде получил приз. Я хотел бы стать учёным. Но смогу ли я стать им? Гожусь ли я в учёные? Как проверить себя?

К сожалению, признаков, по которым можно было бы распознать будущего учёного, нет. Успехи в школе вовсе не гарантируют, что такие же успехи будут у окончившего университет: школьник решает то, что задано, усваивает чужие мысли; учёный же ставит свои задачи. Даже если ученик хорошо умеет проводить логические рассуждения, это ещё не значит, что он годится в учёные. Умение хорошо рассуждать учёному действительно необходимо, кроме тех случаев, когда именно скачок в логическом построении, — т. е. не логика, а догадка, — обеспечивают решение проблемы. И так далее.

Но хотя учёба в школе вовсе не похожа на научную работу, некоторые качества, необходимые учёному, можно развивать, даже готовя уроки. Надо только, решив очередную задачу, не спешить переходить к следующей. Ещё разок перечесть условие, поглядеть на полученный ответ — и дать волю своему воображению... Спросить, например, у себя: а что ещё может быть? Можно ли решать задачи потруднее, опираясь на только что решённую?

Впрочем, подслушаем лучше разговор двух ребят. Они учатся в одном классе и сегодня готовят уроки вместе.

Д. Что нам задали по алгебре?

О. Доказать, что если числа $\dfrac1{b+c}$‍,‍ $\dfrac1{c+a}$‍,‍ $\dfrac1{a+b}$‍‍ составляют арифметическую прогрессию, то и числа $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍‍ также составляют арифметическую прогрессию.

Д. По-моему, задача нетрудная. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифметическое двух соседних с ним. Значит, $$ \dfrac12\left(\dfrac1{b+c}+\dfrac1{a+b}\right)=\dfrac1{c+a}.\tag1 $$ Избавимся в (1) от дробей, раскроем скобки, приведём подобные члены; получим $$ a^2+c^2=2b^2, $$ т. е. $$ \dfrac12(a^2+c^2)=b^2,\tag2 $$ а это и нужно было доказать.

О. Да, вроде всё верно...

Д. Что там ещё задано на завтра?

О. Подожди, дай подумать...

Д. Над чем?

О. Над задачей, которую мы только что решили.

Д. Что над ней думать, если она уже решена?

О. Сначала одни числа образовали прогрессию, а в конце — совсем другие. Что общего между $\dfrac1{b+c}$‍‍ и $a^2$‍?‍ Почему они связаны?

Д. Ты же видел, почему.

О. Я не могу толком объяснить, но чего-то здесь не хватает. А как ты думаешь, верно ли обратное — что если $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍‍ — прогрессия, то и $\dfrac1{b+c}$‍,‍ $\dfrac1{c+a}$‍,‍ $\dfrac1{a+b}$‍‍ — опять прогрессия?

Д. Безусловно. Как же иначе? Проделай выкладки в обратную сторону — всё и получится.

О. Ну, это некрасиво. Знаешь, давай лучше попробуем на числах.

Д. Как это — на числах? На числах ничего не докажешь.

О. ... возьмём, например, числа $$ a^2=1,\quad b^2=4,\quad c^2=7.\tag3 $$ Они образуют прогрессию. Проверим, что $\dfrac1{b+c}$‍,‍ $\dfrac1{c+a}$‍,‍ $\dfrac1{a+b}$‍‍ — тоже прогрессия.

Д. Зачем? Ясно, что проверка получится. Я ведь всё на буквах доказал. Ничего нового числа не добавят.

О. Ну, а я хочу посмотреть, как именно всё получается. Итак, пусть есть числа (3). Возьмём только положительные корни: $a=1$‍,‍ $b=2$‍,‍ $c=\sqrt7$‍.‍

Д.Вычисляем: $$ \dfrac1{b+c}=\dfrac1{2+\sqrt7},\quad\dfrac1{c+a}=\dfrac1{\sqrt7+1},\quad \dfrac1{a+b}=\dfrac13. $$ Неужели это прогрессия? Впрочем, давай избавимся от иррациональности в знаменателе: $$ \dfrac1{b+c}=\dfrac{\sqrt7-2}3,\quad\dfrac1{c+a}=\dfrac{\sqrt7-1}6. $$

О. Конечно же, это прогрессия. Сумма крайних членов $$ \dfrac{\sqrt7-2}3+\dfrac13=\dfrac{\sqrt7-1}3 $$ вдвое больше среднего.

Д. Да; а разность прогрессии равна $\dfrac13-\dfrac{\sqrt7-1}6=\dfrac{3-\sqrt7}6$‍.‍

О. Погоди. Теперь я знаю, как надо доказывать то, что из (2) следует (1). Надо просто как бы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Д. Как это? Ведь там нет иррациональности!

О. Конечно, нет; но действовать надо так, как если бы она была. Смотри: $$ \dfrac1{b+c}=\dfrac{b-c}{b^2-c^2},\quad \dfrac1{c+a}=\dfrac{c-a}{c^2-a^2},\quad \dfrac1{a+b}=\dfrac{a-b}{a^2-b^2}. $$ По условию $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍‍ — прогрессия. Значит, $a^2-b^2=b^2-c^2$‍.‍

Обозначим эту разность через $d$‍.‍ Тогда $a^2-c^2=2d$‍.‍ Числа $\dfrac{b-c}d$‍,‍ $\dfrac{a-c}{2d}$‍,‍ $\dfrac{a-b}d$‍,‍ очевидно, образуют прогрессию.

Д. Ну хорошо что там ещё задали?

О. Подожди, теперь ты понимаешь, как связаны прогрессии $\dfrac1{b+c}$‍,‍ $\dfrac1{c+a}$‍,‍ $\dfrac1{a+b}$‍‍ и $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍?‍

Д. Я и раньше понимал.

О. Пусть $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — произвольные числа. Рассмотрим тройку $b-c$‍,‍ $\dfrac{a-c}2$‍,‍ $a-b$‍‍ — это уже прогрессия. Члены этой прогрессии можно делить на любое число $d$‍.‍ В задаче подобрано $d$‍‍ так, что деление на него приводит к числам $\dfrac1{b+c}$‍,‍ $\dfrac1{c+a}$‍,‍ $\dfrac1{a+b}$‍;‍ поэтому-то вместо произвольных $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и нужно взять такие, чтобы $a^2-b^2=b^2-c^2=d$‍,‍ т. е. чтобы числа $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍‍ составляли прогрессию. Но тут снова возникает вопрос: могут ли все три числа $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ быть целыми?

Д. А не всё ли равно — могут, не могут?

О. Так это же интересно! А вдруг есть такая тройка целых чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ что $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍‍ — это арифметическая прогрессия. И тогда числа $\dfrac1{b+c}$‍,‍ $\dfrac1{c+a}$‍,‍ $\dfrac1{a+b}$‍‍ тоже окажутся прогрессией. Это же красиво — две прогрессии и обе из целых чисел...

Д. Вторая-то будет из дробных, потому что если $a$‍‍ и $b$‍‍ целые, то $\dfrac1{a+b}$‍‍ — дробь.

О. Неважно. Мне хочется, чтобы никаких корней не получалось. Пусть $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ будут даже не целые, а рациональные — всё равно красиво. Но как подобрать три рациональных числа $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ чтобы $a^2-b^2$‍‍ было равно $b^2-c^2$‍?‍ Ведь это уравнение не первой степени, корни могут и не извлекаться... Погоди, но у нас же есть выражение с первыми степенями! Это (1).

Д. Не понял.

О. Смотри. Пусть $\dfrac1{b+c}$‍,‍ $\dfrac1{c+a}$‍,‍ $\dfrac1{a+b}$‍‍ — известная прогрессия. Например, 1, 3, 5. Или 100, 101, 102. Из любых рациональных чисел. Значит, у нас есть система из трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍.‍ Её можно решить‍. Решения — снова рациональные числа. А тогда $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍‍ автоматически составят рациональную прогрессию.

Д. Ну-ка, ну-ка, давай попробуем. Пусть, например, есть прогрессия 1, 3, 5.

О. Нет, давай сразу в общем случае: рассмотрим прогрессию $\alpha-\beta$‍,‍ $\alpha$‍,‍ $\alpha+\beta$‍,‍ где $\alpha$‍‍ и $\beta$‍‍ — произвольные числа. Для определения чисел $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ получаем такую систему уравнений: $$ \begin{align*} b+c&=\dfrac1{\alpha-\beta},\tag4\\ c+a&=\dfrac1\alpha,\tag5\\ a+b&=\dfrac1{\alpha+\beta}.\tag6 \end{align*} $$

Д. Сложим все уравнения и разделим сумму на два; получим $$ a+b+c=\dfrac{3\alpha^2-\beta^2}{2\alpha(\alpha^2-\beta^2)}.\tag7 $$ Вычтем из (7) последовательно (4), (5), (6); получим: $$ a=\dfrac{\alpha^2-\beta^2-2\alpha\beta}{2\alpha(\alpha^2-\beta^2)},\quad b=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{2\alpha(\alpha^2-\beta^2)},\quad c=\dfrac{\alpha^2-\beta^2+2\alpha\beta}{2\alpha(\alpha^2-\beta^2)}. $$

Значит, какие бы $\alpha$‍‍ и $\beta$‍‍ мы ни взяли‍, числа $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍,‍ где $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ вычисляются по этим формулам, должны образовать прогрессию. Давай проверим.

О. Сейчас. Я вот о чём подумал. Для чисел $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ у нас получились дробные выражения. Отбросим у них знаменатели; тогда $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ увеличатся в одно и то же число раз и станут целыми числами, если, конечно, $\alpha$‍‍ и $\beta$‍‍ взять целыми. При этом числа $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍‍ по-прежнему будут образовывать прогрессию.

Д. Конечно. Если 1, 3, 5 — прогрессия, то и 10, 30, 50 — тоже.

О. Значит, мы вывели формулы для прогрессий $a^2$‍,‍ $b^2$‍,‍ $c^2$‍,‍ у которых $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — целые. А именно: $$ \begin{align*} a&=\alpha^2-\beta^2-2\alpha\beta,\tag8\\ b&=\alpha^2+\beta^2,\tag9\\ c&=\alpha^2-\beta^2+2\alpha\beta,\tag{10} \end{align*} $$ где $\alpha$‍‍ и $\beta$‍‍ — любые целые числа.

Д. Проверим. Пусть $\alpha=2$‍,‍ $\beta=1$‍;‍ тогда $$ \alpha^2-\beta^2=3,\quad2\alpha\beta=4,\quad\alpha^2+\beta^2=5. \tag{11} $$

О. Гляди-ка, ведь это египетский треугольник...

Д. Это случайно. Считаем дальше: $$ a=3-4=-1,\quad b=5,\quad c=3+4=7. $$ Действительно, 1, 25, 49 — прогрессия.

О. Значит, мы с тобой научились решать в целых числах неопределённое уравнение $$ a^2+c^2=2b^2;\tag{12} $$ решения записываются формулами (8)—(10).

Д. Откуда это уравнение?

О. Так ведь оно — краткая запись условия, что числа $a^2$‍,‍ $b^2$‍‍ и $c^2$‍‍ образуют прогрессию.

Д. А, понял. Только не доказано, что формулы (8)—(10) дадут все решения этого уравнения.

О. Почему? Ведь это ясно; любое решение уравнения (12) таково, что числа $\dfrac1{b+c}$‍,‍ $\dfrac1{c+a}$‍,‍ $\dfrac1{a+b}$‍‍ образуют прогрессию; а всякая прогрессия может быть представлена в виде $\alpha-\beta$‍,‍ $\alpha$‍,‍ $\alpha+\beta$‍.‍ Перебрав всевозможные пары $(\alpha,\beta)$‍,‍ получим все решения уравнения (12). Понятно?

Д. Кажется, да.

О. Но не в этом дело. Любопытен сам метод, каким мы отыскали решение: вместо того чтобы решать уравнение (12) второго порядка, мы решили эквивалентную ему систему (4)—(6) линейных уравнений с произвольной правой частью. Интересно, есть ли ещё неопределённые уравнения второго порядка, которые, если их решать в целых числах, сводятся к системам уравнений первого порядка?

Д. Может, отдохнём? Послушаем магнитофон?

О. Пожалуй... (Заводят магнитофон. О. снова просматривает решение. Возглас удивления.)

Д. Что?

О. (показывает на строчку (11)). Смотри, ведь это формулы для пифагоровых треугольников! Они дают все целочисленные прямоугольные треугольники с катетами $u$‍,‍ $v$‍‍ и гипотенузой $w$‍:‍ $$ u=\alpha^2-\beta^2,\quad v=2\alpha\beta,\quad w=\alpha^2+\beta^2 $$ — можешь проверить, что $u^2+v^2=w^2$‍.‍ Значит, египетский треугольник (11) — не случайность. Можно взять любой пифагоров треугольник с катетами $u$‍,‍ $v$‍‍ и гипотенузой $w$‍‍ и образовать из длин его сторон решение уравнения (12): $$ a=u\pm v,\quad c=u\mp v,\quad b=w. $$

Д. Любопытно. Проверим. Пусть длины сторон прямоугольного треугольника равны 5, 12 и 13. Тогда $12+5=17$‍,‍ $12-5=7$‍.‍ Получаем числа $7^2$‍,‍ $13^2$‍,‍ $17^2$‍.‍ Действительно, $7^2+17^2=2\cdot13^2$‍.‍

О. Как же это я по виду уравнения (12) не догадался сразу представить числа $a$‍‍ и $c$‍‍ в виде суммы и разности двух чисел $u$‍‍ и $v$‍?‍ Ведь тогда это уравнение сводится к теореме Пифагора; смотри: $$ (u+v)^2+(u-v)^2=2(u^2+v^2), $$ и, значит, $b=u^2+v^2$‍.‍

А решения в целых числах такого уравнения известны. Какая красивая штука! Ведь $(u+v)^2$‍‍ — это площадь квадрата, построенного на сумме катетов, а $(u-v)^2$‍‍ — площадь квадрата, построенного на разности катетов. Значит, мы доказали, что площади квадратов, построенных на разности катетов, гипотенузе и сумме катетов любого прямоугольного треугольника, образуют прогрессию.

Д. Подумаешь, открытие! Всё доказательство укладывается в одну строчку.

О. Открытие невелико, да своё. Мы же раньше этого не знали.

Д. Всё равно это где-нибудь в какой-нибудь книжке написано.

О. И пусть! А я без книжки...

Д. (и в нём, наконец, проснулось любопытство) А почему непременно брать сумму и разность катетов $u$‍‍ и $v$‍?‍ Положим, например, $a=2u+v$‍,‍ $c=u-2v$‍;‍ тогда $$ a^2+c^2=5(u^2+v^2)=5w^2. $$ Значит, решения в целых числах неопределённого уравнения $$ a^2+c^2=5w^2\tag{13} $$ тоже можно получить из пифагоровых треугольников $u$‍,‍ $v$‍,‍ $w$‍‍ ($w$‍‍ — гипотенуза) по формулам $$ a=2u+v,\quad c=u-2v,\quad b=w. $$

О. Верно. Понятно, что таким образом можно решить в целых числах любое неопределённое уравнение вида $a^2+c^2=(m^2+n^2)b^2$‍,‍ где $m$‍‍ и $n$‍‍ — целые.

Д. А как решить уравнение $$ a^2+c^2=3b^2?\tag{14} $$

О. Не знаю. Надо будет подумать. Мы не выяснили ещё один вопрос: какие из неопределённых уравнений высших степеней можно свести к системе линейных? Уравнение (12), например, мы свели к системе (4)—(6). Но тогда мы не знали, есть ли ещё примеры таких уравнений. Теперь я понял, что их можно придумать сколько угодно. Вот продиктуй мне какое-нибудь равенство, похожее на (1), но с другими коэффициентами. Начни, например, так: $\dfrac2{3a+2b}$‍.‍

Д. Пожалуйста (диктует): $$ \dfrac2{3a+2b}-3\dfrac{c-a}=\dfrac1{b+4c}.\tag{15} $$

О. Хорошо. Получилось уравнение, связывающее три неизвестных $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍.‍ Оно равносильно такому уравнению второго порядка: $$ 3a^2-6b^2+8c^2-9ab-47ac-24bc=0.\tag{16} $$

Мы хотим найти рациональные решения этого уравнения. Если $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ рациональны, то и дроби в (15) рациональны. Обозначим первую через $2\alpha$‍,‍ вторую — через $3\beta$‍;‍ тогда третья равна $2\alpha-3\beta$‍‍ ($\alpha$‍‍ и $\beta$‍‍ — рациональные). Получаем систему $$ 3a+2b=\dfrac1\alpha,\quad c-a=\dfrac1\beta,\quad b+4c=\dfrac1{2\alpha-3\beta}. \tag{17} $$ Решив её, найдём $$ a=\dfrac{-16\alpha^2+24\alpha\beta+3\beta^2}{5\alpha\beta(2\alpha-3\beta)}, \quad b=\dfrac{24\alpha^2-31\alpha\beta-12\beta^2}{5\alpha\beta(2\alpha-3\beta)}, \quad c=\dfrac{-6\alpha^2+9\alpha\beta+3\beta^2}{5\alpha\beta(2\alpha-3\beta)}. \tag{18} $$

Это и есть искомые рациональные решения уравнения (16). Числители же выражений (18) дают его целые решения, если $\alpha$‍‍ и $\beta$‍‍ целые. Если бы мы взяли не три неизвестных $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ а больше, то, написав вместо (15) в правой и левой частях столько дробей, сколько неизвестных, мы получили бы неопределённое уравнение более высокой степени. Вообще, чем дробей больше, тем выше степень возникающего неопределённого уравнения; и тем через большее число произвольных параметров $\alpha$‍,‍ $\beta$‍,‍ $\ldots$‍‍ выражается решение.

Д. Но ведь ты не знаешь заранее, какое именно уравнение получится. И не всякое уравнение высшей степени равносильно уравнению, куда входит сумма дробей. А если и равносильно, то как эти дроби найти?

О. Вот в том-то и дело. Надо будет ещё поразмыслить...

На этом мы прервём воображаемый разговор двух друзей. У них разные характеры: Д. всё время хочет побыстрей отделаться от задачи, а О. хочет до конца разобраться в ней. В итоге вместо одной задачи, заданной на дом, он придумывает несколько других, неизвестно, решаемых ли. На первый взгляд он ведёт себя неразумно, расходуя время, отведённое на уроки. Но именно у О. качества, присущие учёному, выражены ярче. Поиск первопричин замеченных фактов, поиск связей между проблемами и есть та побудительная сила, которая заставляет работать учёного, — её называют любопытством, пытливостью, склонностью к обобщениям. Однако мало уметь задавать вопросы, — надо и отвечать на них. Было бы смешно, если бы О., вместо того чтобы решить конкретную, заданную на дом задачу, перечислил все связанные с нею проблемы, так и не осилив ни одной из них. В поисках решений вновь возникших задач — зачастую неожиданных — важна интуиция. Интуиция, догадливость — это плодотворные разрывы в логике; благодаря ей делаются неожиданные шаги в непредсказуемом направлении; и размах этих шагов измеряет талант человека.

Нам остаётся повторить: не торопитесь, выполнив домашнее задание, захлопнуть учебник и тетрадь. Просмотрите задачи ещё раз: что они вам сообщили нового? частный ли факт кроется в них или же он допускает обобщение? какие задачи решались аналогично? можно ли, не меняя способа решения, усложнить задачу? а что будет, если избавиться от части условий задачи? или заменить их противоположными? усилить требования задачи? добавить новые ограничения? Всё это — прекрасный способ привести в движение фантазию, догадливость и любознательность, быть может, дремлющие в вас.

Упражнения

1. Найдите, при каких коэффициентах $a_1$‍,‍ $b_1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $c_3$‍‍ уравнение $$ \dfrac1{a_1x+b_1y+c_1}+\dfrac1{a_2x+b_2y+c_2}+\dfrac1{a_3x+b_3y+c_3}=0 $$ принимает форму $Ax^2+By^2+Cz^2=0$‍.‍
2. Решите в целых числах уравнение $6x^2=2y^2+z^2$‍.‍ Попытайтесь найти другие уравнения типа $Ax^2+By^2+Cz^2=0$‍,‍ решаемые в целых числах, а также способы их решения.
3. Попытайтесь найти уравнения типа $Ax^2+By^2+Cz^2=0$‍,‍ не решаемые в целых числах (не считая нулевого решения).
4. Решите в целых числах уравнение $xyz=yzv+xzv+xyv$‍.‍
5. Придумайте обобщение следующей задачи: «Известно, что при любых значениях $x$‍‍ $$ a_1x^2+b_1x+c_1\gt a_2x^2+b_2x+c_2. $$ Докажите, что $a_1\ge a_2$‍,‍ $c_1\ge c_2$‍‍».
6. Придумайте обобщение такой задачи: «Найти сумму всех несократимых дробей со знаменателем 3, заключённых между целыми положительными числами $m$‍‍ и $n\gt m$‍‍».
7. То же для задачи: «Найти арифметическую прогрессию, у которой среднее арифметическое $n$‍‍ первых членов при любом $n$‍‍ равно их числу».