Несколько задач о гипоциклоидахНесколько задач о гипоциклоидах // Квант. — 1975. — № 8. — С. 61.‍‍

Задача 1. Докажите, что при $k=2$‍‍ гипоциклоиды‍ являются диаметрами неподвижного круга (теорема Насреддина‍—‍Коперника‍—‍Феррари).

Красивый геометрический факт из этой задачи не очень легко представить наглядно. Он служит источником многих популярных геометрических задач.

Пусть, например, концы отрезка $AB$‍‍ скользят по прямым, пересекающимся в точке $O$‍.‍ Если вовлечь в это движение точки всей плоскости (считая её твёрдой пластиной), то (в силу задачи 1) мы получим то же движение, что и при качении круга, ограниченного окружностью, описанный вокруг треугольника $AOB$‍,‍ по внутренней стороне окружности с центром в точке $O$‍‍ вдвое большего радиуса.

Задача 2. Найдите траектории, по которым при описанном движении будут двигаться:

1. центр окружности, описанной вокруг треугольника $AOB$‍;‍
2. точка $C$‍,‍ такая, что $O$‍‍ и $C$‍‍ находятся по разные стороны отрезка $AB$‍‍ и $\widehat{ACB}+\widehat{AOB}=\pi$‍.‍

Гипоциклоида при $k=4$‍‍ называется астроидой.

Задача 3. Проведём диаметры неподвижного круга (радиуса $R$‍)‍ через вершины астроиды. Возьмём произвольную точку астроиды $B$‍‍ и проведём касательную к ней в этой точке до пересечения с диаметрами в точках $E$‍‍ и $F$‍.‍ Докажите, что длина отрезка $EF$‍‍ не зависит от выбора точки $B$‍‍ и равна $R$‍.‍