Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1975. — № 7. — С. 70.
Найти углы прямоугольного треугольника, если известно, что отношение высоты, опущенной на гипотенузу, к медиане, проведённой к катету, имеет наибольшее возможное значение.
На листе бумаги нарисована окружность, центр её не указан. При помощи двусторонней линейки вписать в эту окружность квадрат.
Без помощи таблиц доказать, что $$ \tg50^\circ\gt\dfrac{13}{11}. $$
Доказать неравенство $$ \left(1+\dfrac14\right)\left(1+\dfrac19\right)\ldots \left(1+\dfrac1{n^2}\right)\lt2. $$
Доказать, что угол в
$n^\circ$ где$n$ — произвольное натуральное число, не делящееся на 3, можно разделить на$n$ равных частей с помощью циркуля и линейки.Сумма углов, лежащих при основании трапеции, равна
$90^\circ$. Докажите, что расстояние между серединами оснований трапеции равно расстоянию между серединами её диагоналей.В каких пределах заключено отношение медиан, проведённых к катетам прямоугольного треугольника?
Дан треугольник
$ABC$, в котором угол$A$ вдвое больше угла$B$. Определить высоту$CK$, опущенную из вершины$C$ на сторону$AB$, если известно, что$|AC|=3~\text{см}$, $|AB|=5~\text{см}$.
Ответы, указания, решения
- Указание.$$ \tg50^\circ=\dfrac{1+\tg\dfrac\pi{36}}{1-\tg\dfrac\pi{36}}\gt \dfrac{1+\dfrac\pi{36}}{1-\dfrac\pi{36}}\gt \dfrac{1+\dfrac3{36}}{1-\dfrac3{36}}. $$
- Указание. Циркулем и линейкой можно построить угол в
$3^\circ$. - Указание. Продолжить боковые стороны трапеции до пересечения и построить окружности на основаниях трапеции как на диаметрах.
$2\gt\dfrac{m_a}{m_b}\gt\dfrac12$.