Изображения страниц
Текст статьи Н. В. Геометрические неравенства // Квант. — 1975. — № 7. — С. 65.
- Обозначим через
$m_a$, $m_b$, $m_c$ длины медиан, проведённых к сторонам$a$, $b$, $c$ треугольника. Докажите, что $$ \dfrac38(ab+bc+ca)\le m_am_b+m_bm_c+m_cm_a\le\dfrac54(ab+bc+ca). $$ Сушествует недоказанное предположение, что коэффициент$\dfrac38$ можно заменить на$\dfrac9{20}$. - Обозначим через
$h_a$, $h_b$, $h_c$ длины высот, проведённых к сторонам$a$, $b$, $c$ треугольника$ABC$. Докажите, что $$ (a^2+b^2-h_c^2)^{\textstyle\frac12}+(b^2+c^2-h_a^2)^{\textstyle\frac12}+ (c^2+a^2-h_b^2)^{\textstyle\frac12}\le6R, $$ где$R$ — радиус окружности описанной вокруг треугольника$ABC$. - Обозначим через
$w_a$, $w_b$, $w_c$ длины биссектрис, проведённых к сторонам$a$, $b$, $c$ треугольника. Докажите, что $$ \begin{gather*} \dfrac a{w_b+w_c}+\dfrac b{w_c+w_a}+\dfrac c{w_a+w_b}\ge\sqrt3,\\[12pt] \dfrac{w_a}{b+c}+\dfrac{w_b}{c+a}+\dfrac{w_c}{a+b}\le\dfrac34\sqrt3. \end{gather*} $$
Ответы, указания, решения
- Воспользоваться неравенством
$m_a+m_b+m_c\lt a+b+c$ и тождеством $$ m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac34(a^2+b^2+c^2). $$ Для доказательства левой части неравенства использовать тот факт, что $$ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le2(ab+bc+ca)$$ и что из медиан можно составить треугольник. - С помощью тождеств
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ и$ch_c=ab\sin C$ доказать, что $$ a^2+b^2-h_c^2\le\dfrac{a^2b^2}{h_c^2}=4R^2. $$ - Воспользоваться соотношениями вида
$\cos\dfrac A2=\dfrac{w_a}2\left(\dfrac1b+\dfrac1c\right)$ и неравенствами$\cos\dfrac A2+\cos\dfrac B2+\cos\dfrac C2\le\dfrac{3\sqrt3}2$, $\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z\ge\dfrac9{x+y+z}$ при$x\gt0$, $y\gt0$, $z\gt0$. Для доказательства второго неравенства использовать неравенство$\cos\dfrac A2\ge\dfrac{2w_a}{b+c}$ и т. п.