Изображения страниц
Текст статьи Н. В. Алгебраические задачи // Квант. — 1975. — № 7. — С. 20.
- Доказать, что $$
\begin{aligned}
x^{13}-1=(x-1)&(x^6-ax^5+2x^4+bx^3+2x^2-ax+1)\times{}\\
{}\times{}&(x^6-bx^5+2x^4+ax^3+2x^2-bx+1),
\end{aligned}
$$
где
$a$ и$b$ — корни квадратного уравнения$z^2+z-3=0$. Найти аналогичное разложение для$x^{17}-1$, выбрав в качестве$a$ и$b$ корни квадратного уравнения$z^2+z-4=0$. - Пусть
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — корни кубического уравнения$x^3+bx+c=0$. Составить уравнение, имеющее корни$\alpha(\beta-\gamma)^2$, $\beta(\gamma-\alpha)^2$, $\gamma(\alpha-\beta)^2$. - Доказать, что при любом натуральном значении
$r$ числа $$ \begin{aligned} N_1&=r^{r+1}-2r^r+1,\\ N_2&=2r^{r+2}-r^{r-3}-1\quad(r\gt2),\\ N_3&=r^{r+1}-2r+1,\\ N_4&=r^{r-2}+r-2 \end{aligned} $$ делятся нацело на$(r-1)^2$, а числа$N_1$ и$N_2$ делятся нацело на$(r-1)^3$, если$r$ чётно. - Доказать, что если
$$
\begin{aligned}
(x+y)(x+z)&=bcyz,\\
(y+z)(y+x)&=acxz,\\
(z+x)(z+y)&=abxy,
\end{aligned}
$$
то
$a+b+c=abc+2$ или$a+b+c=abc-2$. - Доказать, что если
$$
\begin{gather*}
x+y+z=0,\\
\dfrac{x^2}a+\dfrac{y^2}b+\dfrac{z^2}c=0,\\
ayz+bzx+cxy=0,
\end{gather*}
$$
то
$(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=abc$. - Пусть натуральное число
$D$ таково, что при обращении дроби$\dfrac1D$ в десятичную получается чисто периодическая дробь, имеющая$p$ цифр в периоде. Обозначим через$N(n,m)$ натуральное число, десятичная запись которого состоит из$m$ групп вида$00\ldots01$, причём в каждой группе$n-1$ нулей (в самой левой группе нули опускаются). Доказать, что если$n$ делится на$p$, то$N(n,m)$ делится на$D$ в том и только том случае, когда$m$ делится на$D$.
Ответы, указания, решения
- Раскрыть скобки и применить теорему Виета. $$ \begin{aligned} x^{17}-1=(x-1)&[x^8-ax^7+(2-a)x^6-(3a-2)x^5+(10-a)x^4-{}\\ &\quad{}-(3a-2)x^3+(2-a)x^2-ax+1]\times{}\\ {}\times{}&[x^8-bx^7+\ldots+1]. \end{aligned} $$
- Искомое уравнение имеет вид $$ x^3-9c^2+(b^2+27c^2)x-c(4b^3+27c^2)=0. $$
- Положить
$r-1=\rho$ и воспользоваться формулой бинома Ньютона. - Перемножая, получаем
$(x+y)(x+z)(y+z)=\pm abcxyz$, откуда$\dfrac{ax}{y+z}=\pm1$. Значит,$y+z=\pm ax$, $z+x=\pm by$, $x+y=\pm cz$. Исключая$x$, $y$, $z$, получаем искомые равенства$a+b+c\pm2=abc$.