Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1975. — № 6. — С. 9.
Сторона квадрата
$ABCD$ равна$a$. На диагонали$AC$ взята точка$P$ так, что$|PC|=\dfrac14|AC|$. Пусть$E$ — точка пересечения$BP$ и$CD$, $O$ — центр квадрата,$M$ — точка пересечения$BP$ с перпендикуляром$OK$, проведённым из точки$O$ на сторону$BC$. - Найти
$|CE|$. - Доказать, что треугольник
$OEM$ равнобедренный.
- Найти
Вокруг треугольника
$ABC$ описана окружность. Из произвольной точки этой окружности на стороны$AB$, $BC$ и$AC$ треугольников опущены соответственно перпендикуляры$h_c$, $h_a$ и$h_b$. Затем из этой же точки опущены перпендикуляры$H_a$, $H_b$ и$H_c$ на касательные к данной окружности соответственно в точках$A$, $B$ и$C$. Доказать, что $$ H_a+H_b+H_c\ge h_a+h_b+h_c. $$Дан 1974-угольник. Его разрезают на
$k$ 987-угольников таких, что их вершины либо совпадают с вершинами 1974-угольника, либо лежат внутри него, причём ни одна из вершин какого-либо 987-угольника не является внутренней точкой стороны другого 987-угольника.Найти наименьшее значение
$k$. На плоскости расположены 1973 прямые общего положения (никакие две прямые не параллельны, никакие три прямые не пересекаются в одной точке). При их пересечении образовалось 100 многоугольников. Определить число точек пересечения прямых.
Ответы, указания, решения
$k=4$. - 2072 точки.