Задачи наших читателейЗадачи наших читателей // Квант. — 1975. — № 6. — С. 42.‍‍

Обозначим через $(a)$‍‍ модуль разности между числом $a$‍‍ и ближайшим к нему целым числом. Например, $(9)=0$‍,‍ $\left(\dfrac83\right)=\dfrac13$‍,‍ $(\pi)=0{,}14\ldots$‍‍ Дана бесконечная последовательность $$ (\sqrt2),~ (2\sqrt2),~ (3\sqrt2),~\ldots,~ (n\sqrt2),~\ldots $$

1. Докажите, что найдётся член этой последовательности такой, что величина его меньше $\dfrac1{1975}$‍.‍
2. Докажите, что таких членов последовательности найдётся бесконечно много.

В. Колосов

Операция $*$‍‍ ставит 3 точкам плоскости, не лежащим на одной прямой, в соответствие ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности треугольника, который они образуют.

Можно ли с помощью линейки (она служит только для проведения прямых) и операции $*$‍‍ построить параллелограмм?

С. М. Агеев

Доказать, что $$ \begin{aligned} \left(1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\ldots+\dfrac1n\right)&{}+{}\\ {}+\left(1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\ldots+\dfrac1n\right)^2&{}+{}\\ {}+\left(\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\ldots+\dfrac1n\right)^2&{}+{}\\ {}+\left(\dfrac13+\dfrac14+\ldots+\dfrac1n\right)^2&{}+{}\\ {}+\left(\dfrac14+\ldots+\dfrac1n\right)^2&{}+{}\\ {}+\ldots+\left(\dfrac1n\right)^2&{}=2n. \end{aligned} $$

С. Л. Манукян