Изображения страниц
Текст статьи Берлянд О. С., Берлянд Б. О. Задачи на делимость чисел // Квант. — 1975. — № 6. — С. 20.
Ниже приводятся несколько задач, которые мы советуем попробовать решить с помощью метода математической индукции. Этот метод зачастую позволяет решить многие задачи такого типа «в лоб» и избавляет нас от поисков более «хитрых» решений. Правда, эти «хитрые» решения зачастую короче, но зато их труднее придумать! Приведём сразу одно указание — индукцию приходится иногда применять многократно.
- Докажите, что $$
\begin{aligned}
n^3+5b&~\text{делится на 3},\\
n^4+6n^3+11n^2+6n&~\text{делится на 4}
\end{aligned}
$$
при любом натуральном
$n$. - Докажите, что $$
\begin{aligned}
4^n+15n-1&~\text{делится на 9},\\
5^n-4n-1&~\text{делится на 16},\\
7^n-6n-1&~\text{делится на 36},\\
8^n-7n-1&~\text{делится на 49},\\
(m+1)^n-mn-1&~\text{делится на}~m^2
\end{aligned}
$$
при любых натуральных
$m$ и$n$. - Докажите, что $$
\begin{aligned}
3^{n+1}+2^n\cdot5^{n+2}&~\text{делится на 7},\\
5^{2n}-3^{2n}&~\text{делится на 16},\\
5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot2^{n-1}&~\text{делится на 19}
\end{aligned}
$$
при любом натуральном
$n$. - Докажите, что $$
\begin{aligned}
n^2-n&~\text{делится на 2},\\
n^3-n&~\text{делится на 3},\\
n^5-n&~\text{делится на 5},\\
n^7-n&~\text{делится на 7},\quad\ldots,\\
n^p-n&~\text{делится на}~p\text{, где}~p~\text{— простое число},
\end{aligned}
$$
при любом натуральном
$n$.