Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1975. — № 2. — С. 58.
- В городе Васюки каждая семья занимала отдельный дом. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, ранее занимаемый другой семьёй. В ознаменование этого дня горсовет решил покрасить все дома в красный, синий или жёлтый цвета, причём так, чтобы для каждой семьи цвета старого и нового домов не совпадали. Удастся ли горсовету это сделать?
- Вы с приятелем спускаетесь в глубокую-глубокую шахту. У вас в руках рычажные весы, на которых уравновешен груз в 1 кг. У вашего приятеля — пружинные весы, на которых висит груз массой тоже 1 кг. Изменятся ли показания весов, когда вы спуститесь очень глубоко?
- По кругу выписаны 1974 цифры. Если прочесть их по часовой стрелке, начиная с некоторого места, то получится число, делящееся на 27. Доказать, что если его прочесть с любого другого места, то тоже получится число, делящееся на 27.
- Вам надо подогреть на спиртовке воду. Для этого предлагается два стакана: один из толстого стекла, другой из очень тонкого стекла. Какой стакан вы выберете?
- Могут ли три человека, имея один двухместный мотоцикл, преодолеть расстояние 60 км за три часа? Скорость пешехода равна 5 км/ч, скорость мотоцикла (с грузом или без груза) — 50 км/ч.
Ответы, указания, решения
- Удастся. Указание. Пусть
$k$ семей переезжают «по кругу». Если$k$ чётно, то этой группе хватит 2 цветов (цвета чередуются), а если$k$ нечётно, то один раз потребуется третий цвет. - Равновесие рычажных весов не нарушится. Показания пружинных весов изменятся.
- Указание. Числа можно записать в виде
$a\cdot10^k+b$, $b\cdot10^{1974-k}+a$. Домножить второе число на$10^k$ (взаимно простое с 27) и рассмотреть разность между полученным числом и первым исходным. - Следует взять тонкий стакан.
- Могут.