— Прямая теорема равносильна теореме, противоположной обратной, — скaзал
ученик Крестиков. — Если $A\Rightarrow B$ — прямая теорема, то вместе с ней верна или неверна теорема $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$.
— А что такое $\overline{B}$ и $\overline{A}$? — спросил ученик Нуликов. — Так обозначаются отрицания утверждений $B$ и $A$.
— А откуда ты знаешь, что они равносильны?
— Могу доказать.
— Давай.
— Пожалуйста. Пусть теорема $A\Rightarrow B$ верна, a теорема
$\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ неверна. Тогда верна теорема
$\overline{B}\Rightarrow A$. Из этой верной теоремы и верной прямой теоремы
следует, что $\overline{B}\Rightarrow B$. Ты же понимаешь, что так не бывает! Значит, на самом деле, теорема $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$
верна.
— Понятно, — сказал Нуликов.
Они встретились на другой день.
— Я доказал, что из прямой теоремы следует обратная, — сказал Нуликов.
— Этого не может быть! Бывает, что прямая теорема верна, а обратная
нет.
— А я тебе докажу!
— Ха! Попробуй!
— Пусть теорема $A\Rightarrow B$ верна. Нам надо доказать, что теорема
$B\Rightarrow A$ тоже верна. Предположим, что она не верна. Тогда верна
теорема $B\Rightarrow\overline{A}$, ты сам говорил это в прошлый раз. Но ей равносильна теорема $A\Rightarrow\overline{B}$, a значит, она тоже верна.
Получилось, что верны две такие теоремы: $A\Rightarrow B$ и $A\Rightarrow
\overline{B}$, а это чепуха. Значит на самом деле теорема $B\Rightarrow A$
верна.
— Ничего не понимаю, — пробормотал Крестиков.
— Я рассуждал так же как ты, — сказал Нуликов.
А теперь ответьте
- Верно ли доказательство Крестикова?
- Верно ли доказательство Нуликова?
- Верно ли последнее заявление Нуликова?
