Текст статьи Семёнов Е. Е. Точка, прямая... — что это такое? // Квант. — 1975. — № 12. — С. 68—71.
1. Расстояние от одной точки до другой. Аксиомы расстояния
Аксиома II₁. Для любых двух точек
Аксиома II₂. Расстояние от точки
Аксиома II₃. Для любых трёх тoчек
Аксиомы II
Задача 1. Определим расстояние между двумя фигурами как наименьшее из расстояний между точками, одна из которых принадлежит первой фигуре, а другая — второй.
- На рисунке 1 изображена карта государств
$A$, $B$, $C$, $D$, каждое из которых имеет форму квадрата со стороной 100 км. Каково расстояние между государствами$A$ и$B$, $B$ и$C$, $A$ и$C$, $A$ и$D$? Можно ли эти государства назвать точками (II$_1$)? - Можно ли считать точками (II
$_1$) окружности, изображённые на рисунке 2?
Задача 2. Расстоянием между двумя населёнными
пунктами, расположенными на берегу реки, назовём время движения от одного из них до другого на лодке. Можно ли считать населённые пункты
Задача 3. Трамвай ходит по кольцевому маршруту в направлении, указанном стрелкой на рисунке 4. Расстояние между
остановками измеряется длиной пути, пройденного трамваем. Можно ли остановки
- точками (II
$_1$); - точками (II
$_2$); - точками (II
$_{1,2}$)? - Можно ли доказать аксиому ІІ
$_2$ на основе аксиомы II$_1$? - Если аксиома II
$_2$, не выполняется, то означает ли это, что не выполняется и аксиома II$_1$? - При каком условии в данной задаче будет выполняться равенство
$|AB|=|BA|$?
Задача 4. На рисунке 5 изображены дороги,
соединяющие населённые пункты
- точками (II
$_1$); - точками (II
$_2$); - точками (II
$_{1,2}$)?
Задача 5. Выполняется ли аксиома II
Задача 6. а) Выполняется ли аксиома II
- Можно ли эти окружности считать точками (ІI
$_{2,3}$)? - Можно ли доказать аксиому II
$_1$ на основе аксиом II$_2$ и II$_3$?
Задача 7. а) Проверьте выполнение аксиомы II
- Можно ли населённые пункты
$A$, $B$, $C$ считать точками (ІI$_{1,3}$)? - Можно ли доказать аксиому II
$_2$, опираясь на аксиомы II$_1$ и II$_3$?
2. Аксиомы порядка
Аксиома III₁. Любая точка
- для любых двух точек
$A$ и$B$, принадлежащих разным множествам, точка$O$ лежит между$A$ и$B$; - если точки
$A$ и$B$ принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой точкой и точкой$O$.
Множества, о которых идёт речь в аксиоме III
Аксиома III₂. Для любого расстояния
Аксиома III₃. Если точка
Аксиома III₄. Любая прямая
- любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой
$p$; - любые две точки, принадлежащие odному и тому же множеству, не разделены прямой
$p$.
Задача 8. Возьмём числовую ось
- Укажите на
$]AB[$ несколько пар точек, находящихся друг от друга на расстоянии 2 единицы; 5 единиц; 8 единиц; 10 единиц. - Укажите примерное положение точки, лежащей на отрезке
$]AB[$ и отстоящей от$O$ на 1000 единиц. - Выполняются ли аксиомы II
$_{\text{1—3}}$ для точек$]AB[$ при таком измерении расстояний?
Задача 9. На рисунке 7 изображено несколько линий. Под расстоянием между двумя точками линий будем подразумевать длину кратчайшего пути от одной точки до другой по этой линии. Под плоскостью будем подразумевать обычную плоскость. Проверьте выполнение всех аксиом для изображённых линий.
Заключение
Мы рассмотрели несколько простейших моделей, в которых выполняются те или иные аксиомы. Существует много моделей, в которых выполняются все аксиомы
геометрии. Это объясняется тем, что точка — не укол булавки, а прямая — не туго натянутая нить, мысленно неограниченно продолженная в обе стороны.
Точками и прямыми можно назвать любые объекты, для которых выполняются
свойства, указанные в группах аксиом. Например, под точкой мы можем
подразумевать пару чисел
Итак, точка и прямая — это те геометрические понятия, свойства Koторых описаны в аксиомах. Таким может быть ваш краткий ответ преподавателю на экзамене.
— А как же быть с изображениями точек и прямых с помощью мела и кaрандаша? — спросите вы. Ну что ж, это всего навсего изображения точек и прямых, помогающие в наших рассуждениях. И только. Но ни в коем случае не точки и не прямые. И кто знает, может, на какой-то далёкой планете ученики изображают точки и прямые совсем иначе и не знают, что их можно изображать так, как это делается у нас, в «земных» школах.
Ответы, указания, решения
- Нет, так как
$|AB|=0$, но$A\ne B$. - Нет, по той же причине.
- Нет, так как
- Нет, так как при введённом в задаче соглашении
$|AB|\lt|BA|$; $|BC|\lt|CB|$; $|AC|\lt|CA|$. - Да;
- нет, так как
$|AB|\gt|BA|$; - нет, по той же причине;
- нет, так как в моделях, приведённых в задачах 2 и 3,
аксиома II
$_1$ выполняется, а аксиома II$_2$ не выполняется; - нет, так как в моделях, приведённых в задаче 1, аксиома II
$_2$ выполняется, а аксиома II$_1$, не выполняется; - если точки
$A$ и$B$ будут концами одного диаметра.
- Да, аксиомы II
$_{\text{1—3}}$ в этой модели выполняются. - Нет, так как
$|AB|+|BD|=0+0=0$, а$|AD|=100~\text{км}$. - Да;
- да;
- нет, так как в рассматриваемом случае вторая и третья аксиомы расстояний выполняются, а первая не выполняется.
- Аксиома II
$_3$ выполняется; - да;
- нет, так как в рассматриваемой задаче аксиомы II
$_1$ и II$_3$ выполняются, а аксиома II$_2$ не выполняется.
- Аксиома II