Изображения страниц
Текст статьи Н. В. Задачи // Квант. — 1975. — № 12. — С. 35.
- Доказать, что если
$a$ и$b$ — корни уравнения$x^4+x^3=1$, то$ab$ является корнем уравнения$x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$. - Доказать, что если
$x\ne y$, $y\ne z$, $x\ne z$ и $$ \dfrac{k(1+yz)-y-z}{y-z}=\dfrac{k(1+zx)-z-x}{z-x}=\dfrac{k(1+xy)-x-y}{x-y}=u, $$ то$3u^2-k^2+1=0$. - Доказать, что если
$xy(x+y)=c$, $yz(y+z)=a$, $zx(z+x)=b$, $xyz=d$, то$a+b+c+2d=\dfrac{abc}{d^2}$. - Докажите, что если
$A$, $B$, $C$ — величины углов треугольника, то для любого натурального$n$ справедливы неравенства $$ (-1)^{n+1}(\cos nA+\cos nB+\cos nC)\le\dfrac32 $$ и $$ -1\le(-1)^{n+1}\cos nA\cos nB\cos nC\le\dfrac18. $$ - Докажите, что если
$x$, $y$, $z$ — любые действительные числа и$a$, $b$, $c$ — стороны треугольника площади$\Delta$, то справедливо неравенство $$ \dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}\le\left(\dfrac{ax+by+cz}\Delta \right)^{\textstyle\frac12}, $$ причём равенство имеет место в том и только в том случае, когда $$ \dfrac x{a(b^2+c^2-a^2)}=\dfrac y{b(c^2+a^2-b^2)}=\dfrac z{c(a^2+b^2-c^2)}. $$
Ответы, указания, решения
- Если
$a^4+a^3=b^4+b^3=1$, то $$ a^3b^3(a+1)(b+1)=q^3(p+q+1)=1, $$ где$p=a+b$, $q=ab$. Кроме того,$a^4-b^4+a^3-b^3=0$, т. е. $$ a^3+a^2b+ab^2+b^3+a^2+ab+b^2=0, $$ откуда$\dfrac1a+\dfrac1b+ab(a+b+1)=0$ или $$ \dfrac pq+q(p+1)=0. $$ Исключая$p$, получаем$q^3(q^3+q+1)=q^2+1$. - Мы имеем
$$
\begin{aligned}
k(1+yz)-(y+z)&=(y-z)u,\\
k(1+zx)-(z+x)&=(z-x)u,\\
k(1+xy)-(x+y)&=(x-y)u,
\end{aligned}
$$
отсюда
$$
\begin{aligned}
(kz-1+u)x&=(1+u)z-k,\\
(ky-1-u)x&=(1-u)y-k.
\end{aligned}
$$
Исключая
$x$, получаем $$ (kz-1+u)((1-u)y-k)=(ky-1-u)((1+u)z-k) $$ или $$ 2u(k(1+yz)-(y+z))+(y-z)(u^2+1-k^2)=0. $$ Отсюда $$ 2u^2(y-z)+(y-z)(u^2+1-k^2)=0. $$ Но$y-z\ne0$, откуда получаем требуемое равенство. - Имеем $$ \begin{gathered} x^2y^2z^2(x+y)(x+z)(y+z)=abc,\\ (x+y)(x+z)(y+z)=\dfrac{abc}{d^2},\\ xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)+2xyz=\dfrac{abc}{d^2},\\ a+b+c+2d=\dfrac{abc}{d^2}. \end{gathered} $$
- Воспользоваться задачей 5 (см. «Квант», 1975, № 7, с. 65).
- Положить
$n=2$ в задаче 5 (там же).
Комментарии
mpanov: Ссылки в указаниях к задачам 4 и 5 неверны.