Текст статьи Семёнов Е. Е. Точка, прямая... — что это такое? // Квант. — 1975. — № 11. — С. 73—75.
Задумывались ли вы когда-нибудь над тем, что такое точка и прямая? На первый взгляд всё здесь ясно: точка — это точка, прямая — это прямая, что тут может быть непонятного? Ну, а всё-таки, как это растолковать кому-нибудь, кто совсем этого не знает и, кроме того, понимает всё очень буквально? Так ли уж это просто? Оказывается, вовсе нет! Вот какая фантастическая история произошла в одной школе.
1. Марсианин изучает «земную» геометрию
В одну из московских школ прилетел марсианин — мальчик Инко. Попав на урок геометрии, он ничего не понял. Ребята решили помочь ему, объяснить, что к чему. Взялся за это Вася. И начать ему пришлось... с точки. Слегка прикоснувшись к доске мелом, Вася произносит:
— Это точка. И это точка, и это тоже точка, — продолжает он, оставляя крошечные следы мела на доске. — Тебе понятно? Далыше...
— Погоди, погоди, — произносит марсианин. — Мне надо получше разглядеть эти точки. — И он достаёт микроскоп. — Значит, точка — это кучки белого вещества. Интересно! У нас это называется иначе... А если это вещество будет зелёным — будут это точки? И каких размеров могут быть эти кучки?
— У точки нет размеров, — говорит Вася.
— Как же нет? Ты же сам сказал, что кучки белого вещества — это точки! — отвечает Инко.
Другие ученики подают марсианину листы бумаги со следами прикосновения карандаша, с булавочными проколами.
— Это россыпи графита! Это рваное отверстие в бумаге! — отвечает Инко, глядя в микроскоп.
Вася в растерянности. Остальные тоже. «Ясное» и «понятное» стало неясным не только для пришельца с другой планеты.
Затем Вася берёт линейку и изображает с её помощью линию.
— Это прямая! — произносит он. — Она состоит из точек.
Внимательно рассмотрев «прямую», марсианин произносит:
— Прямая — это хребет из россыпей мела или графита. — Класс расстроен. Что делать?
— Может, этот Инко — двоечник? — думает кое-кто из вас. Не спешите с выводами! Положение спасает марсианин. — Когда у нас на Марсе хотят рассказать про что-то новое, называют его свойства. Какими свойствами обладают ваши прямые, точки?
— У нас в учебнике эти свойства указаны! — ответит на это шестиклассник.— И называют их аксиомами!
— В конце учебника 8-го класса все эти аксиомы перечислены! — дополнит восьмиклассник. — Давайте воспользуемся ими!
Что остаётся делать? Надо соглашаться. Начнём читать аксиомы.
2. Аксиомы принадлежности
Аксиома I₁. Каждая прямая есть множество точек.
Аксиома I₂. Для любых двух отличных друг от друга точек существует одна и только одна содержащая их прямая.
Аксиома І₃. Существует хотя бы одна прямая, и каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.
3. Точки и прямые, о которых рассказывают аксиомы принадлежности
Прочитав аксиому І
— Стойте, — сказал он. — Что мы могли бы подразумевать под точкой и прямой, если бы других свойств не было? Что такое точка, в этой аксиоме не сказано. Значит. под точками можно подразумевать что угодно! Например, цифры 1, 2, 3. Какие же прямые мы будем тогда иметь? Давайте найдём их вместе.
Общими усилиями нашли прямые
— Тогда имеется ещё одна прямая! — восклицает один из вас. Это пустое
множество —
В классе шум. Что это за прямые? На прямой же точек бесконечно много, а тут — по одной, по две, по три и даже ни одной!
Невозмутимый марсианин прислушивается к спору. Потом говорит:
— Вас смущает, что я назвал цифры 1, 2, 3 точками, а перечисленные
множества, в том числе пустое, прямыми? А меня это нисколько не удивляет.
По-видимому, дело в том, что вы знаете ещё и другие свойства точек и прямых,
а я их не знаю. Поэтому те «точки» и «прямые», которые описываются
одной-единственной аксиомой I
Миша. Точки (I
Таня. Точки (I
Лена. Считает, что точек (I
Саша. Заявил, что прямыми (I
Коля. Точки (I
Задача 1. а) Все ли прямые (I
- Какие прямые (І
$_1$) может указать Таня? Лена? - Сколько различных прямых указал Саша? Какие Сашины прямые совпадают? Почему вы считаете одни Сашины прямые совпавшими, другие — различными? Имеются ли у Саши прямые, не имеющие общих точек? Укажите их. Сколько различных точек у Саши?
- Сколько различных прямых указал Коля?
Точки (I
Задача 2. Все ли ранее приведённые прямые (I
Задача 3. Даны множества
Найдите такие два подмножества
Задача 4. На рисунке изображены 4 шара,
проткнутые четырьмя спицами. Каждый шар будем считать точкой, а пару шаров,
проткнутых одной и той же спицей, — прямой. Выполняются ли при этом условии
аксиомы I
Задача 5. Какие прямые (I
Задача 6. Витя объявил точками буквы русского
алфавита, а прямыми — слова предложения «Однажды на снежное поле явилась
ватага мальцов». Выполняются ли здесь аксиомы І
Ответы, указания, решения
- У Саши шесть прямых (I
$_1$): $\{\textit{в},\textit{и},\textit{к},\textit{е}\}$, $\{\textit{о},\textit{ч},\textit{е},\textit{н},\textit{ь}\}$, $\{\textit{п},\textit{о},\textit{н},\textit{р},\textit{а}, \textit{в},\textit{и},\textit{л},\textit{с},\textit{я}\}$, $\{\textit{г},\textit{о},\textit{р},\textit{д}\}$, $\varnothing$, $\{\textit{к},\textit{и},\textit{е},\textit{в}\}$, из которых пять различных, так как первая и последняя прямые (I$_1$) совпадают:$\{\textit{в},\textit{и},\textit{к},\textit{е}\}= \{\textit{к},\textit{и},\textit{е},\textit{в}\}$. Заметим, что в слове «город» буква$\textit{о}$ встречается дважды, но в прямой (I$_1$), определяемой этим словом, точка (I$_1$) указывается один раз:$\{\textit{г},\textit{о},\textit{р},\textit{д}\}$. Прямые$\{\textit{о},\textit{ч},\textit{е},\textit{н},\textit{ь}\}$ и$\{\textit{г},\textit{о},\textit{р},\textit{д}\}$ имеют единственную общую точку$\textit{о}$. Прямые$\{\textit{г},\textit{о},\textit{р},\textit{д}\}$ и$\{\textit{к},\textit{и},\textit{е},\textit{в}\}$ общих точек не имеют (они «параллельны»). Различные Сашины точки:$\textit{в}$, $\textit{и}$, $\textit{к}$, $\textit{е}$, $\textit{о}$, $\textit{ч}$, $\textit{н}$, $\textit{ь}$, $\textit{п}$, $\textit{р}$, $\textit{а}$, $\textit{л}$, $\textit{с}$, $\textit{я}$, $\textit{г}$, $\textit{д}$. - Колей указаны 4 различные прямые, так как некоторые из написанных им множеств равны (состоят из одних и тех же элементов):
$\{\textit{а},\textit{б}\}=\{\textit{б},\textit{а}\}$, $\{\textit{а},\textit{в}\}=\{\textit{в},\textit{а}\}$, $\{\textit{б},\textit{в}\}=\{\textit{в},\textit{б}\}$, $\{\textit{а},\textit{б},\textit{в}\}=\{\textit{б},\textit{в},\textit{а}\}= \{\textit{в},\textit{б},\textit{а}\}$.
- У Саши шесть прямых (I
В первом примере, приведённом марсианином, прямыми (I
$_{1,2}$) можно считать множества$\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{2,3\}$, $\varnothing$ или$\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1,2,3\}$, $\varnothing$. Считать, например, одновременно прямыми($I_{1,2}$) множества$\{1,2\}$ и$\{1,2,3\}$ нельзя, так как тогда получится, что существуют различные прямые, содержащие точки 1 и 2.Например, для Сашиных точек
$\textit{о}$ и$\textit{р}$ существуют две различные прямые, их содержащие:$\{\textit{п},\textit{о},\textit{н},\textit{р},\textit{а}, \textit{в},\textit{и},\textit{л},\textit{с},\textit{я}\}$ и$\{\textit{г},\textit{о},\textit{р},\textit{д}\}$. Таким образом, аксиома I$_2$ для Сашиных «прямых» не выполняется, поэтому считать Сашины прямые прямыми (I$_{1,2}$) нельзя.$\varnothing$ не может считаться прямой (I$_{\text{1—3}}$). Из аксиомы І$_3$ следует, что на прямой должна существовать хотя бы одна точка, поэтому Лена теперь уже не вправе считать, что точек нет.