Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1975. — № 10. — С. 23.
Найти трёхзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию, такое, что если сложить его с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, то в сумме получится простое число.
Два кота утащили со склада 1975 сосисок, связанных в 99 цепочек. Принявшись за трапезу, коты по очереди стали перекусывать по одной перемычке между сосисками, и если при этом образовывались отдельные сосиски, то кот, перекусивший перемычку, тут же эти сосиски съедал.
Какой кот съест больше сосисок при правильной «стратегии» — начинающий трапезу или второй? Какова правильная стратегия?
Определить, существует ли цифра
$m$ (если да, то чему она равна) такая, что при любом натуральном$k$ число$\underbrace{99\ldots9}_km\underbrace{00\ldots0}_k4$ — полный квадрат.Доказать неравенства: $$ \dfrac12\lt\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\dfrac1{4^2}+\ldots+\dfrac1{n^2}\lt \dfrac23 $$ (при
$n\ge8$).
Ответы, указания, решения
- Автор приводит один ответ:
$469+964=1433$. $m=6$. - Воспользовавшись неравенством
$\dfrac12(a^2+b^2)\ge ab$, получим: $$ \begin{gather*} \dfrac12\left(\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}\right)\gt\dfrac1{2\cdot3}=\dfrac12- \dfrac13,\\ \text{а также}~~\dfrac1{2^2}\lt\dfrac1{1{,}5}-\dfrac1{2{,}5}\quad \text{и т. п.} \end{gather*} $$