Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1975. — № 10. — С. 8.
Доказать, что если
$a_1a_2\ldots a_n=p^n$ ($p$, $n$ — целые), то справедливо нepaвенство $$ (a_1^2+1)(a_2^2+1)\ldots(a_n^2+1)\ge(p^2+1)^n. $$Найти возможно более простую формулу общего члена последовательности $$ 1,~2,~2,~3,~3,~3,~4,~4,~4,~4,~5,~5,~5,~5,~5,~\ldots $$
Можно ли её записать, используя лишь функции
$y=\sqrt x$, $y=[x]$ и арифметические операции?Легко проверить следующие равенства: $$ \begin{aligned} \sqrt{49}&=4+\sqrt9,\\ \sqrt{64}&=6+\sqrt4,\\ \sqrt{81}&=8+\sqrt1,\\ \sqrt{100}&=10+\sqrt0. \end{aligned} $$
Этот ряд можно продолжить следующим образом: $$ \begin{aligned} \sqrt{121}&=12-\sqrt1,\\ \sqrt{144}&=14-\sqrt4. \end{aligned} $$
Можете ли вы вывести общую формулу, объясняющую эти равенства?
Существует ли треугольник, у которого биссектриса делится точкой пересечения биссектрис пополам?
Доказать, что точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую из них (считая от основания) в отношении, равном отношению основания треугольника к сумме двух других его сторон.
Ответы, указания, решения
$a^2+1=p^2\left(\dfrac ap\right)^2+1\ge(p^2+1) \sqrt[p^2+1]{\left(\dfrac ap\right)^{2p^2}}$ согласно неравенству. между средним арифметическим и средним геометрическим$p^2+1$ чисел.- Порядковый номер первого числа серии одинаковых чисел, равных
$k$, будет $$ n_k=(1+2+\ldots+(k-1))+1=\dfrac{(k-1)k}2+1=\dfrac{k^2-k+2}2. $$ Порядковый номер первого числа следующей серии будет$n_{k+1}=\dfrac{k^2+k+2}2$. Отсюда следует, что для номера$n_k$ любого члена последовательности, равного$k$, справедливо соотношение: $$ \dfrac{k^2-k+2}2\le n_k\lt\dfrac{k^2+k+2}2, $$ откуда $$ \dfrac{-1+\sqrt{8n_k-7}}2\lt k\le\dfrac{1+\sqrt{8n_k-7}}2. $$ Формула общего члена данной последовательности выглядит так: $$ a_n=\left[\dfrac{1+\sqrt{8n-7}}2\right]. $$ - Из формулы
$\sqrt{10a+b}=a\pm\sqrt b$ следует, что$b=\left(\dfrac{10-a}2\right)^2$.