Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1975. — № 10. — С. 56.
Был жаркий день, и четыре супружеские пары, гуляя, выпили в течение дня 44 стакана лимонада. Анна выпила 2 стакана, Мария — 3, Софья — 4, Дарья — 5. Андреев выпил столько же, сколько и его жена; Борисов выпил стаканов вдвое больше, чем его жена; Васильев — втрое больше своей жены, а Груздев выпил стаканов лимонада в четыре раза больше, чем его жена.
Кто на ком женат?
Возьмём множество четырёхзначных чисел, у которых цифры тысяч и десятков — нечётные, а сотен и единиц — чётные, причём в каждом из этих четырёхзначных чисел нет одинаковых цифр. Сколько чисел из этого множества делится на девять? Сколько делится на три?
У Пети был один рубль монетами достоинством не более 10 копеек. Вася взял у Пети по одной монете каждого типа, и у Пети стало на 15 копеек меньше. Сколько было у Пети монет каждого достоинства, если монет самого большого достоинства было на 4 больше, чем всех остальных монет?
В примере на деление одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами (а разные — разными); то, что получилось, вы видите на рисунке. Попробуйте восстановить пример.
Термометр быстро вынимают из расплавленного олова. И в первый момент столбик ртути немного поднимается. Объясните, почему это происходит.
Ответы, указания, решения
Груздев — муж Анны, Васильев — Марии, Борисов — Софьи, Андреев — Дарьи. Указание. Уменьшим число стаканов, выпитых каждой женой, на 2, оставив прежние условия на мужей. Тогда мужья выпьют на 20 стаканов меньше, т. е. 10 стаканов, а жёны — 6 стаканов. Дальше нарисуйте таблицу 1 и исследуйте её (надо выбрать 4 элемента в разных строках и столбцах так, чтобы их сумма равнялась 10; полезно использовать чётность и нёчетность некоторых чисел). $$ \begin{gather*} \colsep{10pt}{\begin{array}{|c|cccc|} \hline &\text{А}&\text{М}&\text{С}&\text{Д}\vphantom{\dfrac00}\\ \hline\\[-6pt] \text{А}&0&1&2&3\\ \text{Б}&0&2&4&6\\ \text{В}&0&3&6&9\\ \text{Г}&0&4&8&\mathllap12\\[6pt] \hline \end{array}}\\ \text{Т\hskip1pt а\hskip1pt б\hskip1pt л\hskip1pt и\hskip1pt ц\hskip1pt а \ 1} \end{gather*} $$
Составим для нечётных цифр таблицу 2, в которой: первая строка — возможная сумма двух нечётных цифр, вторая строка — остаток от деления этой суммы на девять, следующие пять строк — цифры, которые в сумме с первой цифрой строки (цифрой тысяч) дают указанную выше сумму, и последняя строка — число возможных пар цифр, дающих эту сумму. Аналогичная таблица составляется и для чётных цифр. $$ \begin{gather*} \def\-{\text{—}} \def\n#1{\qquad\mathclap{#1}} \colsep{10pt}{\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\\[-6pt] \text{Сумма}&4&6&8&10&12&14&16\\[6pt]\hline\\[-6pt] \text{Остаток}&4&6&8&1&3&5&7\\[6pt]\hline\\[-6pt] \n1&3&5&7&9&\-&\-&\-\\ \n3&1&\-&5&7&9&\-&\-\\ \n5&\-&1&3&\-&7&9&\-\\ \n7&\-&\-&1&3&5&\-&9\\ \n9&\-&\-&\-&1&3&5&7\\[6pt]\hline\\[-6pt] \text{Число пар}&2&2&4&4&4&2&2\\[6pt]\hline \end{array}}\\ \text{Т\hskip1pt а\hskip1pt б\hskip1pt л\hskip1pt и\hskip1pt ц\hskip1pt а \ 2} \end{gather*} $$
Затем, объединяя и упорядочивая итоги этих таблиц, комплектуем сводную таблицу 3. $$ \def\vc#1#2{\colsep{0pt}{\begin{array}{l}\text{#1}\\\text{#2}\end{array}}} \def\-{\mathclap{\text{—}}} \begin{gather*} \colsep{10pt}{\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\\[-6pt] \vc{Остаток от деления на девять}{суммы нечётных чисел}&1&2&3&4&5&6&7&8\\\\[-6pt] \hline\\[-6pt] \text{Число пар нечётных чисел}&4&\-&4&2&2&2&2&4\\[6pt]\hline\\[-6pt] \vc{Остаток от деления на девять}{суммы чётных чисел}&8&7&6&5&4&3&2&1\\\\[-6pt] \hline\\[-6pt] \text{Число пар чётных чисел}&4&\-&4&2&2&2&2&4\\[6pt]\hline\\[-6pt] \text{Произведение}&\mathllap16&\-&\mathllap16&4&4&4&4&\mathllap16\\[6pt] \hline \end{array}}\\ \text{Т\hskip1pt а\hskip1pt б\hskip1pt л\hskip1pt и\hskip1pt ц\hskip1pt а \ 3} \end{gather*} $$
При составлении этой таблицы остатки от деления на 9 сумм чётных цифр проставлены в таких графах, чтобы в сумме с остатками от сумм нечётных цифр они давали девять.
Последняя строка таблицы — произведение числа пар данного столбца, так как любой паре нечётных цифр можно сопоставить любую пару чётных цифр.
Сумма произведений даёт искомый ответ: 64 — число различных наборов цифр четырёхзначного числа НЧНЧ, сумма которых делится на девять.
Делимость на три разберите самостоятельно.
У Пети обязательно были монеты по 10 копеек и ещё либо по 2 и 3, либо по 5 копеек. Первый случай приводит к противоречию, во втором получается 8 монет по 10 копеек и 4 монеты по 5 копеек.
$15\,625:25=625$. Указание. Из$\text{О}\cdot\text{ИО}=\text{ТИО}$ следует, что$\text{О}=5$ или 6; из$\text{И}\cdot\text{ИО}=\text{ОН}$ следует, что$\text{Н}=2$ или 3. Проверяя эти возможности, находим, что$\text{И}=2$, $\text{О}=5$, $\text{Н}=0$ и т. д.Когда мы вынимаем термометр из расплавленного олова, температура стекла резко понижается, стекло сжимается, столбик ртути слегка поднимается. (Сравните коэффициенты объёмного расширения для стекла и ртути.)