Изображения страниц
Текст статьи Н. В. Геометрические задачи // Квант. — 1975. — № 1. — С. 63.
- Высоты
$AK$, $BL$ и$CM$ остроугольного треугольника$ABC$ продолжены до пересечения с описанной окружностью в точках$D$, $E$, $F$ соответственно. Пусть$P$, $Q$, $R$ — такие точки окружности, что${\smile}AP=\dfrac13{\smile}ABD$, ${\smile}BQ=\dfrac13{\smile}BCE$, ${\smile}CR=\dfrac13{\smile}CAF$, причём все дуги имеют одно и то же направление. Доказать, что${\smile}AR=\dfrac13{\smile}ACD$, ${\smile}CQ=\dfrac13{\smile}CBF$, ${\smile}BP=\dfrac13{\smile}BAE$, а треугольник$PQR$ — равносторонний. - Дана трапеция
$ABCD$ с параллельными сторонами$AB$ и$CD$, $AB\lt CD$. Циркулем и линейкой построить точку$H$ на боковой стороне трапеции такую, что прямая$HK$, параллельная основанию трапеции, делит её на части, площади которых относятся так$m:n$. - Пусть
$O$ — центр окружности, описанной вокруг треугольника$ABC$, $R$ — её радиус,$H$ — точка пересечения высот треугольника$ABC$ и$U$, $V$, $W$ — точки пересечения описанной окружности с прямыми$AH$, $BH$ и$CH$. Доказать, что прямые, проведённые через точки$U$, $V$, $W$ параллельно прямым$OA$, $OB$ и$OC$ соответственно, пересекаются в одной точке$P$. Доказать также, что если$H'$ — точка на продолжении отрезка$OH$, такая, что$OH=HH'$, то$PH'=\dfrac{OH^2}{R^2}$. [Прим. ред. сайта: последняя формула неверна.] - Построить вписанный в окружность треугольник, зная одну его вершину и точку
$H$ пересечения высот треугольника. - Заданы окружность, прямая линия
$AB$ и точка$X$ на прямой. Построить окружность, касающуюся прямой$AB$ в точке$X$, так, чтобы общая касательная данной и проведённой окружностей имела заданную длину$l$.
Ответы, указания, решения
- Указание. Легко проверить, что точки
$A$, $B$, $C$ делят пополам дуги$EF$, $FD$, $DE$. - Разделить сторону
$BC$ точкой$F$ в отношении$m:n$. На$BC$ описать полуокружность и восстановить к$BC$ в точке$F$ перпендикуляр$FG$ (точка$G$ — на полуокружности). Продолжить$CB$ и$DA$ до пересечения в$E$. Провести окружность с центром$E$ и радиусом$EG$, пересекающую$BC$ в$H$. Через$H$ провести$HK$ параллельно$CD$. - Указание. Легко видеть, что
$H$ — центр окружности, вписанной в$UVW$. Значит,$OA\perp VW$ (так как$A$ делит пополам${\smile}VW$). - Провести хорду
$AM$ через$H$ и разделить$HM$ пополам точкой$O$. Через$D$ провести хорду$BC$ перпендикулярно к$AM$ Треугольник$ABC$ — искомый. - Провести прямую
$A'X'B'$ параллельно$AXB$ на расстоянии$c$ от нee($XX'\perp AB$), где$c$ — радиус данной окружности. Соединить центр$O$ окружности с$X'$ и разделить$OX'$ точкой$O$ так, что$OQ\cdot OX'=l^2$. Провести окружность с центром$E$, касающуюся$A'B'$ в$X'$ и проходящую через$O$. Окружность с центром$E$ и радиусом$EX'\pm c$ — искомая (знак у$c$ зависит от того, по одну сторону от$AB$ лежат точки$E$ и$O$ или по разные).