Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1974. — № 8. — С. 61.
- Восьмиклассники построены в шеренгу. Перед каждым из них стоит семиклассник, который ниже ero pocтом. Доказать, что если шеренги семиклассников и восьмиклассников построить по росту, то по-прежнему каждый восьмиклассник будет выше стоящего перед ним семиклассника.
- Мальчик поймал в реке рыбу. Ему захотелось тут же хотя бы приблизительно определить массу этой рыбы. Как он может это сделать, если у него есть ровная прочная удочка и в своих запасах он нашёл буханку хлеба массой в 1 кг?
- Доказать, что
$n^2+n+1$ нe делится на 1974 ни при каком целом$n$. - Длинный коридор имеет электропроводку. Человек, войдя с одного конца коридора, включил лампу, а пройдя коридор — выключил её. Какова схема проводки, если лампочку можно включать и выключать из обоих концов коридора?
- Дана шахматная доска размером
$100\times100$ клеток. Две клетки назовём соседними, если они имеют общую сторону. В клетках этой доски стоят целые числа, причём числа, стоящие в соседних клетках, отличаются не более чем на 20. Доказать, что на доске найдутся три одинаковых числа. - Имеется алюминиевый шарик объёмом
$20~\text{см}^3$ и массой$18~\text{г}$. Как определить, сплошной он или внутри него есть воздушная полость? Можно ли каким-нибудь способом выяснить, находится эта полость в центре шара или около его поверхности?
Ответы, указания, решения
- Указание. Начинать надо с самого высокого семиклассника, перестановки можно осуществлять по парам (менять местами самого высокого с тем, кто занимает его «законное» место и т. д.). При каждой такой перестановке условие, сформулированное в задаче, будет сохраняться (докажите).
- При помощи удочки можно уравновесить рыбу и буханку хлеба, как показано
на рисунке 1. Тогда
$$
m_1=m_2\dfrac{l_2}{l_1},
$$
где
$m_1$ — масса рыбы,$m_2$ — масса буханки,$l_2$ и$l_1$ — указанные на рисунке расстояния, которые можно измерить с помощью любой единицы длины. - Число
$n^2+n+1$ нечётно при любых целых$n$. - Одна из возможных схем приведена на рисунке 2. При таком положении переключателей лампа не горит.
- Уменьшим все числа на доске на одно и то же число, чтобы наименьшее
число на доске стало равным нулю. От него до наибольшего числа можно дойти
не более, чем за 198 переходов (к соседним клеткам), поэтому наибольшее
число не превосходит
$198\cdot20=3960$. Если каждое число на доске не встречается не более двух раз, то на доске стоит не более$2\cdot3960=7920$ чисел, а их по условию$10\,000$. - Плотность шарика
$0{,}9~\text{г/см}^3$, а плотность алюминия$2{,}7~\text{г/см}^3$, следовательно, шарик не является сплошным, в нём есть полость. Опустим шарик в сосуд с водой. Он будет плавать в воде; над водой будет находиться 0,1 его объёма. Если полость находится не в центре шарика, то при разных положениях в воде он будет поворачиваться так, чтобы полость всегда находилась в наивысшем положении (рис. 3).
