Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1974. — № 7. — С. 65.
Магическим квадратом называется квадратная таблица целых положительных чисел, в которой суммы чисел, стоящих в каждом столбе, в каждой строке и на диагонали, равны. Сама эта сумма называется суммой магического квадрата.
Доказать, что сумма магического квадрата размером
$3\times3$ всегда делится на 3.- В вашем распоряжении «прямой» магнит и иголка. Как определить, намагничена ли иголка?
- Саша и Оля по очереди ставят крестики и нолики на поля шахматной доски
размером
$9\times9$. Первый ход делается Олей в центр доски. Саша ходит в одну из 8 свободных клеток, которые окружают Олин ход, и т. д. Ходить можно только в свободные клетки. Выигрывает тот, кто поставит свой знак в одну из четырёх угловых клеток (или же противнику некуда ходить). Доказать, что Оля всегда может выиграть. - Два шарика одинаковой массы — свинцовый и стальной — падают с одинаковой высоты на песок. Какой из них больше нагреется?
Имеется кусок бумаги. Его можно разорвать на 8 или на 12 частей, каждый новый кусок также можно разорвать на 8 или на 12 частей или оставить целыми, и т. д.
Можно ли получить таким образом 60 кусков? Докажите, что можно получить любое число кусков, большее 60.
Ответы, указания, решения
- Обозначить первые два числа, стоящие в первой строке квадрата, через
$a$ и$b$, а первое число во второй строке через$c$ и сумму магического квадрата через$s$. После этого можно найти все остальные числа в квадрате и доказать, что$s$ делится на 3. - Намагниченная иголка может отталкиваться от магнита, ненамагниченная всегда притягивается.
- Оля должна ставить нолики симметрично крестикам Саши, если, конечно, она не может выиграть одним ходом.
- Свинцовый.
- Число кусков бумаги имеет вид
$1+11k+7t$ ($k$ — число разрываний бумаги на 12 кусков,$t$ — на 8 кусков). Получить 60 кусков нельзя. Легко указать наборы$k$ и$t$, при которых получаются числа кусков от 61 до 67, а далее надо увеличивать$t$ на единицу.