Задачник «Кванта» / Квант. — 1974. — № 7 / 1974 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 7. — С. 36—48.

В этом номере журнала «Задачник «Кванта» составлен из задач, предлагавшихся на заключительном туре Всесоюзных олимпиад по математике и физике 1974 года. Некоторые из задач здесь приводятся в изменённом или обобщённом виде.

Открыть в номере

Задачи М271‍—‍М275; Ф283‍—‍Ф287 Задачи М271—М275; Ф283—Ф287 // Квант. — 1974. — № 7. — С. 36—37.

Задача М271
Можно ли расставить числа $1$‍,‍ $2$‍,‍ $3$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $n$‍‍ в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
Задача М272
Даны две окружности радиусов $R$‍‍ и $r$‍,‍ касающиеся внешним образом. Строятся различные трапеции $ABCD$‍‍ так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одного из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможную длину длину боковой…
Задача М273
На отрезке $0 \le x \le 1$‍‍ задана функция $f$‍.‍ Известно, что эта функция неотрицательна и $f(1) = 1$‍.‍ Кроме того, для любых двух чисел $x_1$‍‍ и $x_2$‍‍ таких, что $x_1 \ge 0$‍,‍ $x_2 \ge 0$‍‍ и $x_1 + x_2 \le 1$‍,‍ выполнено…
Задача М274
Найдите наименьшее число вида
1. $|11^k - 5^l|$‍;‍
2. $|36^k - 5^l|$‍;‍
3. $|53^k - 37^l|$‍,‍
где $k$‍‍ и $l$‍‍ — натуральные числа.
Задача М275
1. На плоскости даны $n$‍‍ векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех $n$‍‍ векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех $k = 1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍…
Задача Ф283
Текст задачи готовится
Задача Ф284
Текст задачи готовится
Задача Ф285
Текст задачи готовится
Задача Ф286
Текст задачи готовится
Задача Ф287
Текст задачи готовится

Решения задач М231‍—‍М235; Ф238‍—‍Ф242 Решения задач М231—М235; Ф238—Ф242 // Квант. — 1974. — № 7. — С. 38—48.

Задача Ф238
Текст задачи готовится
Задача Ф239
Текст задачи готовится
Задача Ф240
Текст задачи готовится
Задача Ф241
Текст задачи готовится
Задача Ф242
Текст задачи готовится
Задача М231
Найдите все решения в натуральных числах уравнения $$ n^x+n^y=n^z. $$
Задача М232
1. Докажите, что к конечному множеству точек на плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится.
Задача М233
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее — 1973 раза (рис. 1). Сколько раз будет написано число 1973?
Задача М234
Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют $\dfrac13$‍‍ их длины. С полученным восьмиугольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого…
Задача М235
По арене круглого цирка радиуса 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов, на которые он поворачивал (рис. 3), не меньше 2998 радиан.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 7. — С. 36—48.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1974
Номер: 7
Страницы: 36—48
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 7. — С. 36‍—‍48.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1974/7/zadachnik_kvanta-07fefbc6/
Полный текст: опубликован 29.03.2026

Задачник «Кванта» (1974, № 7)Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 7. — С. 36‍—‍48.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 7. — С. 36—48.

Задачи М271‍—‍М275; Ф283‍—‍Ф287 Задачи М271—М275; Ф283—Ф287 // Квант. — 1974. — № 7. — С. 36—37.

Решения задач М231‍—‍М235; Ф238‍—‍Ф242 Решения задач М231—М235; Ф238—Ф242 // Квант. — 1974. — № 7. — С. 38—48.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1974. — № 7. — С. 36—48.