Изображения страниц
Текст статьи Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками // Квант. — 1974. — № 3. — С. Обложка (с. 2), 73—75.
Начало статьи:
Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками // Квант. — 1974. — № 2. — С. 58—60.
На второй странице обложки вы видите бумажное кольцо, разрезанное по длине. Это кольцо склеено из перекрученной бумажной полоски. Если полоску до склеивания закрутить на пол-оборота, то после склеивания получится лист Мёбиуса; на приведённом рисунке полоска перекручена на полтора оборота.
Видно, что после разрезания по длине кольцо не распадается на два куска. Оказывается, можно изготовить такое кольцо, что, разрезав его по длине, мы получим цепь из двух или даже трёх колец. Об этом рассказано в статье Б. А. Кордемского «Топологические опыты своими руками» (с. 73—75).
Лист Мёбиуса и переплетение колец
Поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны (рис. 1). Одной стороной кольцо соприкасается с пальцем, вторая сторона — наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какая-нибудь букашка захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то она при этом непременно должна пересечь ту или другую границу.
Легко приготовить простую модель поверхности совсем другого «фасона» — не двухсторонней, как поверхность кольца, а односторонней поверхности (рис. 2). Первым описал такую поверхность Август Мёбиус (в 1863 году). Перекрутите на полоборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклейте его к другому концу той же полоски. Получится модель поверхности, у которой нет двух сторон — «внутренней» и «внешней». Эту модель так и называют: «лист Мёбиуса».
Чтобы убедиться в том, что у поверхности листа Мёбиуса только одна сторона, возьмите цветной карандаш и начните последовательно закрашивать лист, не отрывая карандаша от его поверхности и не пересекая края листа. Вернувшись к тому месту, с которого начали, вы увидите, что окажется окрашенной вся поверхность листа, хотя его край вы и не пересекали ни разу.
Возьмите теперь несколько листов бумаги поплотней, клей, ножницы и проделайте несколько практических упражнений с листом Мёбиуса и другими моделями, изготовляемыми из прямоугольных полосок бумаги.
Опыт 1. Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно — два колечка, причём длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого колечка. если вы разрежете лист Мёбиуса вдоль его средней линии, то получится...
Проделайте и посмотрите, что получится.
Опыт 2. Приготовьте второй лист Мёбиуса из достаточно широкой полоски и разрезайте его ножницами так, чтобы линия разреза всё время шла вдвое ближе к левому краю полоски, чем к правому (линия разреза обойдёт лист Мёбиуса дважды). Вот теперь образуется...
Тот же результат получится, если вновь взять бумажную полоску; один её конец перекрутить на полный оборот (на
Опыт 3. Надрежьте концы бумажной полоски, как показано на рисунке З. Склейте концы
- Теперь каждый начатый разрез продолжайте вдоль всей модели. Получится...
- Если вы ошибётесь и конец
$C$ приклеите к концу$F$, не пропустив$C$ между$B$ и$A$, то после указанного разрезания получится...
Опыт 4 (предложен Э. Стеньоном в 1930 году). Ещё раз приготовьте бумажную полоску с надрезами (рис. 3). Поверните конец
Опыт 5. Любопытно решение такой задачи: подготовить из бумажной полоски модель, из которой можно было бы получить переплетение (в частности, обычную цепь)
Секрет решения заключён в предварительном сгибании полоски по её длине ещё до разрезания и в способе склеивания надрезанных концов согнутой полоски.
Начните с полоски, перегнутой по длине один раз (рис. 4). Перекрутите её на полный оборот
Опыт 6. Согните бумажную полоску и сделайте надрезы, как показано на рисунке 5. Не-перекручивая, склейте концы согнутой полоски, так, как показано на рисунке 6. Продолжайте разрез вдоль всей модели по двойному слою.
- Если сделать всё точно, то получится...
- Если вы допустите некоторое отклонение от инструкции, то могут получиться...
Опыт 7. Чтобы получить цепь из колец с помощью всего лишь одного сквозного разреза, возьмите достаточно широкую полоску бумаги и согните её «гармошкой» (рис. 7). Надрежьте концы, как показано на рисунке, придайте согнутой полоске форму кольца и склеивайте такие концы:
- Теперь продолжайте разрез вдоль модели по всем складкам — получится...
- Если работа будет выполнена с некоторым отклонением от инструкции (по ошибке или преднамеренно), то всё равно получится ...
Ответы к предыдущим задачам и опытам приведены в конце журнала. К следующим шести опытам указаний не будет. Придётся самостоятельно искать пути решения. Ставим такое условие: добиться результатов с помощью одного сквозного разреза модели, сконструированной из бумажной полоски, некоторым образом согнутой, надрезанной и концы которой склеены.
Опыт 8. Изготовить цепь в 4 кольца.
Опыт 9. Изготовить две отдельные цепи в 2 и З кольца каждая.
Опыт 10. Изготовить цепь в З кольца с четвёртым кольцом, зацепившимся за среднее кольцо.
Опыт 11. Изготовить цепь в 9 колец.
Опыт 12. Изготовить три отдельных куска цепи по 3 кольца в каждом куске (из одной бумажной полоски).
Опыт 13. Изготовить отдельный кусок цепи в 4 кольца и второй отдельный кусок цепи в 5 колец (из одной бумажной полоски).
Ответы, указания, решения
Опыт 1. ...одно перекрученное кольцо.
Опыт 2. ...2 кольца, но они будут сцеплены.
Опыт 3. а) ...переплетение трёх колец. б) ...цепь из трёх колец.
Опыт 4. ...2 сцепленных кольца: одно большое и одно маленькое.
Опыт 6. а) ...цепь из 3 колец. б) ...три разрозненных кольца.
Опыт 7. а) ...цепь из 5 колец. б) ...5 колец, частично переплетённых, частично сцепленных.