«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
На плоскости даны две прямые $m$ и $n$ и точка $O$. Постройте треугольник, две высоты которого лежат на данных прямых $m$ и $n$, а центр описанной окружности находится в точке $O$.
Квадрат $6\times6$ нужно заполнить 12 плитками, из которых $k$ имеют форму уголка, а остальные $12-k$ — прямоугольника (см. рис. 1). При каких $k$ это возможно?
В выпуклый $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$ вписан $n$-угольник $B_1B_2\ldots B_n$, площадь которого равна $P$ (вершина $B_i$ лежит нa стороне $A_iA_{i+1}$ для $i=1$, 2, $\ldots$, $n-1$, а вершина…
На рёбрах $A'D'$ и $C'D'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ выбирают две точки $K$ и $M$ так, что плоскость $KDM$ касается шара, вписанного в куб (рис. 3). Докажите, что величина $\phi$ двухгранного угла при ребре…
Текст задачи готовится
24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица $24 \times 25$, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа $n$, взаимно простого с числом 10, в последовательности можно указать такую группу стоящих подряд цифр, что записываемое этими цифрами число делится на $n$.
Даны два треугольника $A_1 A_2 A_3$ и $B_1 B_2 B_3$. Опишите вокруг треугольника $A_1 A_2 A_3$ треугольник $M_1 M_2 M_3$ наибольшей площади, подобный треугольнику $B_1 B_2 B_3$ (при этом вершина $A_1$ должна лежать на прямой $M_2 M_3$, вершина…
