Изображения страниц
Текст статьи Читатели предлагают задачи // Квант. — 1974. — № 10. — С. 57.
Доказать, что $$ \begin{gathered} [1+6\cdot0]+[1+6(0+1)]+[1+6(0+1+2)]+\ldots\\ \ldots+[1+6(0+1+2+\ldots+(n-1))]=n^3. \end{gathered} $$
Доказать, что уравнение $$ x^3+y^3+z^3-3xyz=1 $$ имеет только три целочисленных решения относительно неизвестных
$x$, $y$, $z$. Доказать неравенства:
$(1+x)^n+(1-x)^n\le2^n$ при$n\gt1$, $|x|\le1$; $(1+x)^n+(1-x)^n\ge2^n$ при$0\lt n\lt1$, $|x|\le1$.
$A$, $B$, $C$ — углы остроугольного треугольника$ABC$. Что больше:$\sin A+\sin B+\sin C$ или$\sin2A+\sin2B+\sin2C$? Доказать, что $$ 1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+\ldots+n(n+1)(n+2)= \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}4. $$
Решить уравнение $$ \dfrac{x+y+z}4=\overline{x{,}yz}. $$
Решить уравнение $$ \overline{abcd}+\overline{bcd}+\overline{cd}+d=3022. $$
Ответы, указания, решения
- Воспользоваться равенствами $$ \begin{gathered} x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz),\\ x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=(x+y+z)^2-3(xy+xz+yz). \end{gathered} $$
- Воспользоваться методом математической индукции.
- Автор приводит 4 решения:
$\overline{x{,}yz}=0{,}00$, $2{,}25$, $1{,}50$, $3{,}75$. - Автор нашёл 2 решения:
$\overline{abcd}=1973$, 2473.