«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
$N$ человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом $N$.
Дан выпуклый $n$-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Доказать, что через эту точку нельзя провести больше $n$ прямых, каждая из которых делит площадь $n$-угольника пополам.
Доказать, что если $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ — положительные числа, то $$ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \ge 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1). $$
В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
Король обошёл шахматную доску $8\times8$, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь,…
Текст задачи готовится
На сторонах треугольника $ABC$, как на основаниях, построены равнобедренные треугольники $AB_1C$, $BA_1C$ и $AC_1B$ (рис. 1). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек $A$, $B$ и $C$ соответственно на…
К какой стороне треугольника $ABC$ ближе всего расположена точка пересечения его высот, если $\angle A\lt\angle B\lt\angle C$? А к какой вершине?
Найдите все решения уравнения $$ \sqrt[\scriptstyle n~]{x^n-a^n}+\sqrt[\scriptstyle n~]{2a^n-x^n}=a, $$ где $a$ — заданное вещественное число, $n$ — натуральное число, большее единицы.
Опустим из любой точки $P$ биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ перпендикуляры $PA_1$, $PB_1$, $PC_1$ на его стороны $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Пусть $R$…
