«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см? (Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на $90^\circ$ и $180^\circ$, но ломать её нельзя.)
Докажите, что если
$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$.
Найдите высоту трапеции, у которой основания равны $a$ и $b$ ($a \lt b$), угол между диагоналями равен $90^{\circ}$, а угол между продолжениями боковых сторон — $45^{\circ}$.
Докажите тождество $$\dfrac{C^0_n}{x} - \dfrac{C^1_n}{x + 1} + ... + (-1)^n\dfrac{C^n_n}{x + n} = \dfrac{n!}{x(x+1)(x+2)...(x+n)}.$$
На кафтане площадью 1 помещается 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше $\dfrac{1}{2}$. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше $\dfrac{1}{5}$.
Имеются две системы линз с одинаковыми фокусными расстояниями. Оптические оси линз совпадают (рис. 1). Первая система линз состоит из собирающих линз, во второй собирающие линзы чередуются с рассеивающими. Найти траектории лучей в каждой из систем, если расстояние между линзами много меньше…
Текст задачи готовится
На тело массы $m$, лежащее на горизонтальной шероховатой поверхности с коэффициентом трения $k$, в момент времени $t=0$ начала действовать под углом $\alpha$ к горизонту сила, пропорциональная времени. Определить скорость $v$…
Выберем на высоте $BH$ треугольника $ABC$ произвольную точку $P$. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AP$ и $BC$, $L$ — точка пересечения прямых $CP$ и $AB$. Докажите,…
а) Докажите, что нельзя занумеровать рёбра куба числами $1$, $2$, $\ldots$, $12$ так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же.
б)* Можно ли вычеркнуть одно из чисел $1$,…
Найдите наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется следующее условие: если $n$ делится на $p-1$ и $p$ простое, то $n$ делится на $p$.
Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$, чтобы прямоугольник $a\times b$ можно было разрезать на несколько прямоугольников $\alpha\times\beta$.
Например, можно ли…
$A$ обещает платить $B$ в среднем $\sqrt{2}$ руб. в день. Они условились, что в $n$-й день $A$ будет получать целое число $a_n$ рублей ($a_n$ равно 1 или 2) с таким расчётом, чтобы сумма, полученная за…
