Изображения страниц
Текст статьи Разные задачи // Квант. — 1973. — № 1. — С. 13.
Какую цифру надо приписать к 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27?
- Решить уравнение
$x^2-y^2=1972$ в целых положительных числах. - Доказать, что уравнение
$x^2-y^2=1973$ имеет ровно одно решение в целых положительных числах и найти это решение.
- Решить уравнение
В произвольном треугольнике
$ABC$ на стороне$AC$ взята произвольная точка$K$, а на сторонах$AB$ и$BC$ — точки$L$ и$N$ соответственно, причём$\angle ALK=\angle KNC$. Доказать, что$AB\cdot LK\cdot KC=BC\cdot NK\cdot KA$. 
На рисунке изображены два геометрических тела. Может ли боковая поверхность первого тела быть больше боковой поверхности второго тела?
Ответы, указания, решения
$1971=73\cdot27$. $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, $1972=2\cdot2\cdot17\cdot29$, $x_1=46$, $y_1=12$, $x_2=494$, $y_2=492$. - 1973 — простое число;
$x=987$, $y=986$.
- Опустим перпендикуляры:
$h_1$ из точки$B$ на$AC$, $h_2$ из$K$ на$AB$ и$h_3$ из$K$ на$BC$. Тогда $$ \dfrac{BC\cdot h_3}{AB\cdot h_2}=\dfrac{BC\cdot NK}{AB\cdot LK}= \dfrac{KC}{AK}, $$ откуда$BC\cdot NK\cdot AK=AB\cdot LK\cdot KC$. - Может. При
$r\lt R$ это будет, если $$ h\gt\dfrac{2(R^2-r^2)}{\sqrt{3R^2-2rR-r^2}}. $$