Изображения страниц
Текст статьи [Задачи] // Квант. — 1972. — № 8. — С. Обложка (с. 3).
- Победителями футбольного турнира оказались четыре команды: «Динамо»,
«Спартак», «Труд» и «Шахтёр», набравшие одинаковое количество очков. Между
командами-победительницами был организован дополнительный турнир, на котором
каждая команда играла с каждой по одному матчу. Победа давала 2 очка,
ничья 1 очко. «Динамо» получило 5 очков, «Труд» 3 очка и «Шахтёр» 1 очко. На дополнительном турнире было забито 11 голов,
из которых 5 забили игроки «Труда». Кстати, эта команда победила «Шахтёр» со счётом
$2:1$. Восстановите исходы остальных матчей. - На рисунке города отмечены точками, соединяющие их дороги отрезками
(других дорог, кроме указанных на рисунке, нет). Найти кратчайший путь от города
$A$ до города$B$ при условии, что количество промежуточных городов чётно (таким образом, прямой путь от$A$ к$B$ не годится, ибо пролегает через нечётное количество городов). - Когда учитель вошёл в класс, дежурный стирал запись предыдущего урока, которую учитель собирался использовать. Остановив дежурного, учитель попросил его по оставшимся цифрам восстановить стёртые. Можно ли это сделать?
Два друга стояли внизу около эскалатора метро. Им хотелось сосчитать количество ступенек эскалатора, находящихся между входом и выходом с него. Однако вести счёт движущимся ступенькам оказалось не так просто, и вскоре друзья запутались. Тогда они решили применить гораздо более надёжный метод. Они одновременно ступили на эскалатор, причём в то время, как один делал два шага, другой делал один шаг (через ступеньки никто из них не перескакивал). Чтобы дойти до верхнего конца эскалатора, тому из друзей, который шагал быстрее, пришлось сделать 28 шагов, другой же сделал всего 21 шаг. Сколько ступенек в эскалаторе (снизу доверху)?
Ответы, указания, решения
- Один из вариантов таблицы: $$ \def\t#1#2{\mathllap{#1}\text{—}\mathrlap{#2}} \def\s#1#2#3{\hphantom0\mathllap{#1}~(\hphantom0\mathllap{#2}:\mathrlap{#3}\hphantom0)} \colsep{5pt}{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &\text{Д}&\text{Т}&\text{С}&\text{Ш}&\text{Очки}&\text{Голы}\vphantom{\dfrac00}\\ \hline\\[-6pt] \text{Д}&\text{—}&\s210&\s100&\s210&5&\t20\\ \text{Т}&\s001&\text{—}&\s133&\s221&3&\t55\\ \text{С}&\s100&\s133&\text{—}&\s100&3&\t33\\ \text{Ш}&\s001&\s012&\s100&\text{—}&1&\t13\\[6pt] \hline \end{array}} $$
- Указание. При нахождении искомого пути основную роль играют многоугольники с нечётным числом городов на их границе.
$74\,369\,053\cdot 87\,956=6\,541\,204\,425\,668$. - Эскалатор движется с той же скоростью, что и второй друг, от входа до выхода помещается 42 ступеньки.