Изображения страниц
Текст статьи [Задачи] // Квант. — 1972. — № 7. — С. Обложка (с. 3).
- Доказать, что разность $$ 999993^{1999}-555557^{1997} $$ кратна пяти.
- Для того, чтобы проверить горизонтальность поверхности, строители пользуются прибором, который называют плотничьим уровнем. В изогнутой трубке, заполненной водой, находится пузырёк воздуха. Если уровень лежит не горизонтально, пузырёк смещается к краю трубки. Когда пузырёк больше: в тёплую или в холодную погоду?
- Выпишем подряд, начиная с 1, числа натурального ряда: $$ 123456789101112131415161718192021\ldots $$ Какая цифра окажется на 1972-м месте?
- Останкинская телебашня высотой 530 метров весит 30000 тонн. Сколько будет весить точная модель этой башни высотою 53 см?
- В погребе стоит 20 одинаковых банок с вареньем. В 8 банках клубничное варенье, в 7 — малиновое, в 5 — вишнёвое. Каково наибольшее число банок, которые можно в темноте вынести из погреба с уверенностью, что там осталось ещё хотя бы 4 банки одного сорта варенья и 3 банки другого?
- Доказать, что из всех прямоугольников одного и того же периметра наибольшую площадь имеет жвадрат.
Ответы, указания, решения
- Будем искать лишь последнюю цифру чисел: $$ 3^{1999}=(3^4)^{499}\cdot3^3=(81)^{499}\cdot27, $$ это число оканчивается на 7; $$ 7^{1997}=(7^4)^{499}\cdot7^1=(2401)^{499}\cdot7, $$ это число тоже оканчивается на 7; разность этих чисел делится даже на десять.
- Пузырёк в тёплую погоду меньше, чем в холодную: он сжимается расширяющейся водой.
- На 1972-м месте стоит цифра 6.
- 30 граммов.
- 7 банок.
- Пусть периметр равен
$4a$, стороны прямоугольника$a-x$ и$a+x$. Тогда$(a+x)(a-x)=a^2-x^2$ и наибольшее при$x=0$.