Задачник «Кванта» / Квант. — 1972. — № 7 / 1972 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 7. — С. 33—39.

В этом номере мы помещаем задачи, предлагавшиеся на заключительных турах Всесоюзной математической и физической олимпиад в апреле этого года.

Открыть в номере

Задачи М151⁠—⁠М155; Ф163⁠—⁠Ф167 Задачи М151—М155; Ф163—Ф167 // Квант. — 1972. — № 7. — С. 33—34.

Задача М151
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как $2:3$‍.‍ Доказать, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Задача М152
Пусть $a$‍,‍ $b$‍,‍ $m$‍,‍ $n$‍‍ — натуральные числа, причём $a$‍‍ взаимно просто с $b$‍‍ и $a\ge1$‍.‍ Доказать, что если $a^m + b^m$‍‍ делится на $a^n + b^n$‍,‍ то $m$‍‍ делится на…
Задача М153
Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а второй вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности: $$ \def\z{\enspace\mathclap{*}\enspace} \colsep{0pt}{\begin{array}{ccccc} &\z&\z&\z&\z\\[-6pt] \mathllap-\\[-6pt] &\z&\z&\z&\z\\ \hline \end{array}} $$ Затем первый называет ещё одну цифру и т. д. 8 раз, пока все звёздочки не заменятся на цифры. Тот кто называет цифры,…
Задача М154
На прямой дано 50 отрезков. Доказать, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:
1. некоторые восемь отрезков имеют общую точку;
2. найдётся восемь отрезков, никакие два из которых не имеют общей точки.
Задача М155
Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Доказать, что их можно поместить без наложений в квадрат площади 2.
Задача Ф163
Текст задачи готовится
Задача Ф164
Текст задачи готовится
Задача Ф165
Текст задачи готовится
Задача Ф166
В расположенном горизонтально цилиндре с одной стороны от закреплённого поршня находится 1 моль идеального газа. В другой части цилиндра вакуум. Пружина, расположенная между поршнем и стенкой цилиндра, находится в недеформированном состоянии (рис. 2). Цилиндр теплоизолирован от…
Задача Ф167
Текст задачи готовится

Решения задач М108⁠—⁠М109; Ф129⁠—⁠Ф130 Решения задач М108—М109; Ф129—Ф130 // Квант. — 1972. — № 7. — С. 35—39.

Задача М108
1. Докажите, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник.
2. Докажите, аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно…
Задача М109
1. В вершине $A_1$‍‍ правильного 12-угольника $A_1A_2A_3\ldots A_{12}$‍‍ стоит знак минус, а в остальных — плюсы. Разрешается одновременно менять знак на противоположный в любых шести последовательных вершинах многоугольника. Докажите, что за несколько таких…
Задача Ф129
Текст задачи готовится
Задача Ф130
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 7. — С. 33—39.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1972
Номер: 7
Страницы: 33—39
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 7. — С. 33⁠—⁠39.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1972/7/zadachnik_kvanta-bc856a87/
Полный текст: опубликован 09.03.2026

Задачник «Кванта» (1972, № 7)Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 7. — С. 33⁠—⁠39.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 7. — С. 33—39.

Задачи М151⁠—⁠М155; Ф163⁠—⁠Ф167 Задачи М151—М155; Ф163—Ф167 // Квант. — 1972. — № 7. — С. 33—34.

Решения задач М108⁠—⁠М109; Ф129⁠—⁠Ф130 Решения задач М108—М109; Ф129—Ф130 // Квант. — 1972. — № 7. — С. 35—39.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1972. — № 7. — С. 33—39.