Изображения страниц
Текст статьи Задачи // Квант. — 1972. — № 3. — С. 27.
- На сторонах
$AB$, $BC$, $CA$ треугольника$ABC$ выбраны точки$C_1$, $A_1$, $B_1$ соответственно. Доказать, что окружности, описанные вокруг треугольников$ABC_1$, $BCA_1$, $CAB_1$, пересекаются в одной точке. Обобщить это утверждение на случай шести точек, выбранных на сторонах тетраэдра. - Дан пятиугольник
$ABCDE$. Через концы каждой его стороны и точку пересечения двух соседних с ней сторон проводят окружность. Доказать, что эти окружности пересекаются в пяти точках (отличных от вершин пятиугольника), лежащих на одной окружности. - Через точку
$P$, лежащую внутри угла$BAC$, провести две равные окружности, одна из которых касается прямой$AB$, а другая — прямой$AC$. - Две окружности касаются (с одной стороны) прямой
$l$ в точке$C$, а прямая$m$ параллельна$l$ и пересекает обе окружности в точках$S$, $T$, $X$, $Y$ (последовательно). Доказать, что точка$C$ лежит на биссектрисе одного из двух углов, образованных парами касательных к окружностям в точках$S$, $T$ или$X$, $Y$. - Треугольник вписан в окружность, причём квадраты длин его сторон пропорциональны длинам перпендикуляров, опущенных из противоположных вершин на фиксированную касательную к окружности. Доказать, что одна из сторон лежит на диаметре окружности.
- Две окружности радиусов
$R$ и$r$ расположены так, что квадрат расстояния между центрами окружностей равен$R^2+14Rr+r^2$. Доказать, что существует бесконечно много троек окружностей, касающихся попарно друг друга и обеих данных окружностей.