Изображения страниц
Текст статьи [Задачи] // Квант. — 1972. — № 2. — С. Обложка (с. 3).
- В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?
- На рисунке изображена мишень. Куда надо попасть и сколько выстрелов сделать, чтобы выбить на ней ровно 100 очков?
- Найти цифры
$x$ и$y$ пятизначного числа$42x4y$, если известно, что это число делится на 72. - Каких чисел больше среди первого миллиона: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в записи которых её нет?
Дан квадрат размером
$5\times5$, в котором записаны 25 чисел (см. рисунок). Выберем одно из чисел (произвольно), обведём его, а остальные числа, стоящие в том же столбце и в той же строке, зачеркнём. Затем выберем одно из оставшихся чисел, обведём его, а остальные числа в тех же строке и столбце зачеркнём. Так сделаем пять раз.Возьмём сумму обведённых чисел. Оказывается, как бы мы ни выбирали числа, эта сумма всегда равна 56. Попробуйте разгадать это таинственное свойство приведённого квадрата.
Ответы, указания, решения
- Молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, а вода в стакане.
- 6 выстрелов: 4 раза в 17 и 2 раза в 16.
$42048=72\cdot584$. - Больше тех чисел, в которых единица встречается.
Числа первого столбца можно представить в виде
$1+3a$, где$a$ — номер строки. Аналогичные выражения для чисел остальных столбцов таковы:$-3+3b$, $5+3c$, $9+3d$, $-1+3e$. Сумму обведённых чисел можно записать в виде $$ 1+3a-3+3b+5+3c+9+3d-1+3e=11+3(a+b+c+d+e), $$ где вместо
$a$, $b$, $c$, $d$, $e$ надо подставить соответствующие номера строк. В каждой строке выбирается ровно одно число, поэтому $$ a+b+c+d+e=1+2+3+4+5=15, $$ a упомянутая сумма равна$11+3\cdot15=56$.