«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Текст задачи готовится
В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно $0{,}001$. Докажите, что площадь этой фигуры не превышает $0{,}34$. (Можно считать, что граница фигуры, о которой говорится в условии, состоит из отрезков прямых и дуг…
В таблице $m\times n$ записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Доказать, что…
Доказать, что для любого натурального $n$ найдётся число, составленное из цифр 1 и 2, делящееся на $2^n$.
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел $a$, $b$, $c$, $d$ оказывается, что $(a-b)(c-d)\lt0$, то числа $b$ и $c$ можно поменять местами. Доказать, что эту операцию…
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешается перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Доказать, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю…
Пусть $l_1$, $l_2$, ..., $l_n$ — несколько прямых на плоскости, среди которых есть две пересекающихся. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке $X_1$, $X_2$, ... так, чтобы перпендикуляр,…
Прямоугольная таблица из $m$ строк и $n$ столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Докажите, что если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в…
Решите уравнение $$ \sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{1+x}=3, $$ где $p$ — произвольное вещественное число.
На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после рсзыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (причем все такие возможности мы считаем равновероятными), окажется, что угаданы ровно 4 клетки? 5 клеток? ... все 8 клеток?
