В этой статье рассказывается о некоторых свойствах эллипса и о разных
закономерностях движения планет, самые важные из которых называются законами
Кеплера.
Сила тяжести
Закон инерции кажется сейчас самым элементарным и естественным законом —
с него начинается изучение механики. Однако чтобы понять его, надо было
отвлечься от того, что происходит непосредственно перед глазами. В обычных
условиях движению тела в горизонтальной плоскости мешают трение и сопротивление воздуха; при движении в вертикальной плоскости на тело
действуют сила сопротивления воздуха и сила тяжести. От их влияния надо было
освободиться хотя бы мысленно. На это ушло много лет.
Только после того как был понят закон инерции — закон движения тел при идеализированных условиях, можно было рассматривать движение тел под действием сил.
Закон падения тел на Земле установил Галилей (1564—1642). Он первым
поставил перед собой задачу понять, как меняется скорость падающего тела в последовательные промежутки времени. Таким образом, он ввёл в механику
ускорение и установил, что ускорения всех тел, падающих на землю, одинаковы
и постоянны. Но то, что причина ускорения — сила тяжести, было лишь позже
понято Ньютоном.
Почти через сто лет после публикации работы Галилея Ньютон открыл закон
всемирного тяготения (1687 г.), согласно которому сила тяжести не постоянна, а убывает с увеличением расстояния между телами как квадрат этого
расстояния.
Если бы физика исторически развивалась в таком порядке, в каком она излагается в учебниках, то только после открытия Ньютона можно было бы перейти к изучению законов движения планет. Но развитие науки не подчиняется
логике учебника. Значительно раньше Ньютона эти законы установил современник
Галилея Иоган Кеплер (1571—1630).
Познания Кеплера в механике по сравнению со знаниями современного
школьника были крайне скудными. Он не только не знал законов Ньютона (они
ещё не были открыты), но и имел весьма смутное представление о том, что такое сила. Всё, что было в руках Кеплера, — это очень аккуратные дневники
наблюдений движения небесных тел, которые в течение многих лет вёл его учитель Тихо Браге и продолжал вести он сам. Только необычайное трудолюбие и уверенность в существовании простых законов, управляющих движением планет, позволили ему открыть законы, которые с тех пор носят его имя.
Законы Кеплера и сейчас не так уж очевидны. В основном это связано с тем,
что эллипсы — кривые, по которым движутся планеты, плохо известны обычному
читателю. В действительности же получить законы Кеплера не так уж трудно.
Для этого нужно воспользоваться двумя законами механики: законом сохранения
энергии (который не был известен ни Кеплеру, ни Ньютону) и законом
сохранения момента количества движения. Последний, как мы увидим,
эквивалентен второму закону Кеплера: площади, заметаемые
радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени,
одинаковы.
Закон сохранения момента количества движения
Мы не будем выводить этот закон, а только сформулируем его для случая
движения одной частицы под действием силы тяжести Солнца или Земли.
Рисунок 1
Если частица с массой $m$ движется в поле тяжести Солнца или Земли (точка
$O$ на рисунке 1) со скоростью $\overrightarrow{v}$, то её количество движения (импульс)
$$
\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{v}.
$$
На рисунке 1 изображён кусочек траектории частицы. Вектор
$\overrightarrow{P}$ направлен по касательной к траектории. Опустим из начала координат — точки $O$ — перпендикуляр на прямую, определяемую
вектором $\overrightarrow{P}$. Расстояние $\rho$ от начала координат до этой
прямой (длину опущенного нами перпендикуляра) называют прицельным
параметром.
Моментом количества движения или угловым моментом $L$ называется
произведение
$$
L=\rho mv=\rho P.
$$
Так как момент силы тяжести относительно точки $O$ равен нулю, момент
количества движения частицы не изменяется при её движении.
Покажем, что закон сохранения момента количества движения эквивалентен
закону площадей Кеплера.
Действительно, если посмотреть на голубой треугольник с основанием,
равным $v\,\Delta t$, то легко заметить, что его площадь равна
$$
S=\dfrac{1}{2}(v\,\Delta t)\rho.
$$
Здесь $\rho$ — высота треугольника и в то же время прицельный параметр.
Если $\Delta t$ мало, то основание треугольника практически совпадает с кусочком траектории, который частица проходит за время $\Delta t$, а сам треугольник — это кусочек площади, которую проходит (иногда говорят
«заметает») радиус-вектор частицы за время $\Delta t$. Но $\rho mv=L$, поэтому
$$
S=\dfrac{1}{2m}L\,\Delta t.
$$
Так как момент количества движения $L$ не меняется со временем, то площадь,
которую «заметает» радиус-вектор частицы, пропорциональна времени. За равные
промежутки времени радиус-вектор частицы всегда «заметает» равные площади.
Второй закон Кеплера можно рассматривать как обобщение закона инерции.
При свободном движении остаётся постоянным путь, проходимый частицей в единицу времени, а при движении в поле тяжести остаётся постоянной площадь,
«заметаемая» радиусом-вектором частицы.
Кеплер не знал закона сохранения момента количества движения и открыл его эмпирически. Сначала он думал, что скорости движения планет обратно
пропорциональны их расстояниям до Солнца. Но такое предположение не сходилось с наблюдениями, записанными в журналах Тихо Браге. Тогда Кеплер
попробовал найти несколько более сложный закон. Он стал рассматривать все возможные радиусы-векторы планеты одновременно. Такая картина — своего рода
эквивалент вычисления площади. И Кеплер обнаружил, что площади, покрываемые
радиусом-вектором планеты в единицу времени, одинаковы на всех участках
орбиты.
Закон сохранения энергии
На поверхности Земли сила тяжести равна $mg$. Если ввести потенциальную
энергию тела в поле тяжести $U=mgh$ ($h$ — расстояние от тела до Земли), то можно утверждать, что при движении тела сумма его кинетической и потенциальной энергий $E=\dfrac{mv^2}{2}+mgh$ не меняется.
Однако выражение для $U$, которое мы написали, справедливо только при небольших расстояниях от тела до Земли, когда $h$ мало по сравнению с радиусом Земли и силу тяжести можно считать постоянной. Если высота
становится большой, то сила тяжести уменьшается с расстоянием. Согласно
закону Ньютона
$$
|F|=\gamma\dfrac{mM}{R^2},
$$
где $\gamma$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли и $R$ —
расстояние от тела до центра Земли.
Рисунок 2
Если пользоваться точным выражением для силы тяжести, то потенциальную
энергию надо заменить на $U=-\gamma\dfrac{mM}{R}$. Проверим это. Вспомним,
что работа, которую совершает тело при движении, равна уменьшению его потенциальной энергии. Сосчитаем работу, совершаемую телом, падающим с высоты $R_2$ до высоты $R_1$ от центра Земли (рис. 2). Для этого надо
вычислить разность потенциальных энергий тела:
$$
\text{работа}=U_2-U_1=
\gamma mM\left(-\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_1}\right) =
\gamma mM\left(\dfrac{R_2-R_1}{R_1R_2}\right).
$$
Если $R_2-R_1\ll R_1$ ($R_2\approx R_1$), то произведение $R_1R_2$ можно
заменить на $R^2$ — квадрат среднего геометрического $R_1$ и $R_2$ (при $R_2
\approx R_1$: $R\approx R_2\approx R_1$), а $R_2-R_1$ заменить на $l$ —
путь, пройденный телом. Тогда последняя формула приобретёт вид $$
\colsep{0pt}{
\begin{array}{rccc}
\text{работа}=\text{сила}\cdot\text{путь}={}&\gamma\dfrac{mM}{R^2}&{}\cdot{}&l.\\[9pt]
&\substack{\text{сила}\\\text{тяжести}}&&\substack{\text{путь}\\\vphantom o}
\end{array}}
$$
Это и означает, что выражение для $U$, которое мы написали выше, —
действительно потенциальная энергия тела.
Теперь нам по-другому нужно записать формулу для полной энергии тела:
$$
E=\dfrac{mv^2}2-\gamma\dfrac{mM}R=m\left(\dfrac{v^2}2-\gamma\dfrac MR\right).
$$
Эллипс
Начнём с обычного определения эллипса (рис. 3). Эллипсом
называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух
точек (фокусов эллипса) постоянна.
Рисунок 3
Из этого определения можно вывести интересное «оптическое» свойство
эллипса: если в одном из фокусов зеркального эллипсоида
поместить источник света, то все лучи, вышедшие из него, соберутся в другом
фокусе эллипсоида. Это означает, что углы между прямыми, идущими в точку эллипса из его фокусов, и касательной к эллипсу равны между собой (рис. 4).
Рисунок 4
Докажем, что эллипс обладает ещё одним свойством, которое даже удобно
принять за определение эллипса. Для этого проведём касательную $t$ к эллипсу
в точке $A$ и опустим из обоих фокусов эллипса перпендикуляры на эту касательную (рис. 5). Один из перпендикуляров продолжим за прямую $t$
на расстояние $F_2'N_2$, равное $N_2F_2$. Соединим теперь точки $F_2'$ и $F_1$ с точкой $A$. Покажем, что $F_2'AF_1$ — прямая.
Рисунок 5
Это сразу видно из того, что $\alpha_1=\alpha_2$ (по построению) и $\alpha_1=\alpha_3$ (согласно оптическому свойству эллипса). Следовательно,
$\alpha_2=\alpha_3$, а, значит, $F_2'AF_1$ — прямая.
Далее, так как $AF_2'=AF_2$, то $F_1F_2'=F_1A+AF_2'=F_1A+AF_2$, т. е.
отрезок $F_1F_2'$ равен сумме расстояний от точки эллипса до фокусов.
Обозначим эту сумму $2a$. Опустим теперь перпендикуляр $F_1B$ на прямую
$F_2F_2'$, вычислим длину катета $F_1B$ из двух прямоугольных треугольников — коричневого и жёлтого — и приравняем оба выражения для $F_1B$ друг другу:
$$
(2a)^2-(\rho_1+\rho_2)^2=(2c)^2-(\rho_2-\rho_1)^2.
$$
Раскрывая скобки, получим
$$
\rho_1\rho_2=a^2-c^2.
$$
Итак, произведение $\rho_1\rho_2$ не зависит от того, в какой точке
проведена касательная. Проведём её в конце малой полуоси (рис. 6). В этом случае $a^2-b^2=c^2$. Поэтому $\rho_1\rho_2=b^2$.
Рисунок 6
Таким образом, мы получили основную теорему:
Произведение расстояний от двух фокусов до любой касательной эллипса
есть величина постоянная, равная квадрату малой полуоси.
Первый закон Кеплера
Теперь мы можем рассмотреть движение планеты. Для простоты мы не будем
доказывать, что орбита планеты — эллипс, а, предположив это и используя
законы сохранения момента количества движения и энергии, найдём его полуоси
и убедимся в том, что движение по эллипсам в поле тяжести не противоречит
законам сохранения.
Отметим два положения планеты $A$ и $A'$, симметричные относительно
центра эллипса (рис. 7). Можно сказать и иначе: точка $A$ — истинное
положение планеты в некоторый момент времени, а $A'$ — получена из первой
переносом Солнца в другой фокус, в то время как планета остаётся на прежнем
месте.
Рисунок 7
Запишем закон сохранения энергии. Отмечая величины индексами $1$ для точки $A$ и индексом $2$ для точки $A'$, получим $(E_1=E_2=E)$
.
$$
-E=\dfrac{mv_1^2}2-\gamma\dfrac{mM}{r_1}=\dfrac{mv_2^2}2-\gamma\dfrac{mM}{r_2}
$$
Угловой момент планеты равен произведению количества движения $mv_1$ (или
$mv_2$) на «плечо» — прицельный параметр $\rho_1$ (или $\rho_2$), причём
угловой момент для обоих положений планеты одинаков:
$$
L=mv_1\rho_1=mv_2\rho_2.
$$
Вычислим произведение кинетических энергий планеты в точках $A$ и $A'$:
$$
T_1T_2=\dfrac{mv_1^2}2\cdot\dfrac{mv_2^2}2=\left(-E+\dfrac\alpha{r_1}\right)
\left(-E+\dfrac\alpha{r_2}\right).
$$
(Здесь $\alpha=\gamma Mm$.)
Заменив в этом уравнении скорости их выражениями через момент количества
движения, после простых преобразований получим:
$$
\dfrac14\,\dfrac{L^4}{m^2\rho_1^2\rho_2^2}-E^2=
\dfrac{-\alpha(r_1+r_2)E+\alpha^2}{r_1r_2}.
$$
Нетрудно увидеть, что это равенство выполняется, если орбита планеты —
эллипс. Действительно, для этого нужно положить
$$
r_1+r_2=\dfrac\alpha E=2a
$$
и $$
\rho_1\rho_2=\dfrac{L^2}{2mE}=b^2.
$$
Оба эти равенства — не что иное, как два определения эллипса, приведённые
выше.
Таким образом, наша траектория — эллипс с полуосями:
$$
\text{большой }a=\gamma\dfrac{mM}{2E}\quad\text{и малой }
b=\dfrac{L}{\sqrt{2mE}}.
$$
Ещё одно уравнение эллипса
Вернёмся к закону сохранения энергии. Выразив опять скорость планеты
через её момент количества движения $L$ и подставив затем в выражение для полной энергии планеты, получим
$$
\dfrac{L^2}{2mE\rho^2}-\gamma\dfrac{mM}{RE}=-1.
$$
Если в этом уравнении заменить выражение $\gamma\dfrac{mM}{2E}$ на $a$, а выражение $\dfrac{L^2}{2mE}$ на $b^2$, то мы получим, что $$
\dfrac{b^2}{\rho^2}-\dfrac{2a}R=-1
$$
или $$
\dfrac{b^2/a}{\rho^2}=\dfrac2R-\dfrac1a.
$$
Здесь $R$ — расстояние от точки на эллипсе (планеты) до какого-либо фокуса
(Солнца), а $\rho$ — длина перпендикуляра, опущенного из этого же фокуса на касательную к той же точке.
Можно показать, что $\dfrac{b^2}a=l$ — ордината точки эллипса, для которой абсцисса равна $c$ (точка $A$ на рис. 6). Тогда закон
сохранения энергии можно записать так:
$$
\left(\dfrac l\rho\right)^2=\dfrac2R-\dfrac1a.
$$
Так как мы знаем, что планеты движутся по эллипсам, то это равенство
можно рассматривать как уравнение траектории, связывающее расстояние $R$ до планеты с расстоянием до касательной $\rho$. Оно называется
полярно-касательным уравнением эллипса. Если бы мы его знали раньше
(оно редко приводится в учебниках), то сразу могли бы сказать, что первый закон Кеплера — это просто закон сохранения энергии для движения планет.
Скорость
Оказывается, мы можем определить не только траекторию планеты, но и её скорость в любой точке траектории. Пусть это точка $A$ на рисунке 7.
Напишем опять
$$
\rho_1\rho_2=b^2\quad\text{и}\quad L=mv_1\rho_1.
$$
Отсюда
$$
v_1=\dfrac L{mb^2}\rho_2.
$$
Далее, так как $b=\dfrac L{\sqrt{2mE}}$, то $v_1=\dfrac{2E}L\rho_2$.
Таким образом, величина скорости пропорциональна расстоянию от касательной к эллипсу в точке $A$ до второго фокуса эллипса. Направлена
скорость, конечно, по касательной к эллипсу.
Проведём ещё касательную $t'$ к эллипсу в точке $A'$ (рис. 7).
Очевидно, что расстояние от фокуса $F_1$ до касательной $t'$ также равно
$\rho_2$. Поэтому при движении планеты отрезок $KK'$ вращается вокруг точки
$F_1$ так, что его длина меняется, но произведение отрезков $KF_1$ и $K'F_1$
остаётся постоянным.
Из формулы $\rho_1\rho_2=b^2$ можно получить интересное свойство
траектории планеты. Заменяя прицельные параметры $\rho_1$ и $\rho_2$ на скорости $\left(\rho_1=\dfrac{v_1L}{2E}\text{ и }
\rho_2=\dfrac{v_2L}{2E}\right)$ и подставляя вместо $b^2$ выражение
$\dfrac{L^2}{2mE}$, получим
$$
v_1v_2=\dfrac{2E}m.
$$
Здесь $v_1$ и $v_2$ — скорости планеты в двух точках эллипса, симметричных
относительно центра.
Упростим эту формулу. Если бы частица с энергией $E$ двигалась свободно,
то её скорость была бы равна $v_0=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}$
$\left(\text{так как }\dfrac{mv_0^2}2=E\right)$.
Будем измерять скорость в единицах $v_0$ .
Тогда скорость планеты будет безразмерной. Скорость — это число,
показывающее, сколько раз $v_0$ содержится в скорости планеты:
$$
\beta_1=\dfrac{v_1}{v_0}\quad\text{и}\quad\beta_2=\dfrac{v_2}{v_0}.
$$
Согласно предыдущему скорости $\beta_1$ и $\beta_2$ связаны соотношением
$$
\beta_1=\dfrac1{\beta_2}.
$$
Что это значит? Если частица движется в какой-то точке орбиты со скоростью
$\beta$, то в точке, симметричной относительно центра орбиты, её скорость
будет равна $\dfrac1\beta$.
Мы описывали траекторию планеты, задавая её положение
(координаты) в каждый момент времени. Можно поступить и иначе — задавать
скорости планеты. Кривая, которую мы при этом получим, называется годографом
скорости (можно сказать, что это траектория в пространстве скоростей). Так как произведение отрезков $\beta_1$ и $\beta_2$ постоянно, то годограф
скорости планеты — окружность (рис. 8) (вспомните теорему: «Пусть внутри
окружности дана точка. Тогда для всех хорд, проходящих через эту точку,
произведения длин отрезков, на которые делит хорды эта точка, одинаковы»).
Рисунок 8
Если мы заменим скорость $\beta$ на $\dfrac1\beta$ в каждой
точке годографа, то годограф не изменится, а просто скорость повернётся на $180^\circ$. Это свойство называется инвариантностью движения относительно
инверсии скорости.
Если траектория планеты круговая, то $\beta=1$ (докажите!).
В этом случае годограф — окружность с центром в начале координат.
Период обращения
Для того чтобы вычислить период обращения — время полного оборота планеты
вокруг Солнца или искусственного спутника вокруг Земли, — надо сосчитать
время прохождения каждого участка траектории (отдельно, так как скорость всё время меняется) и просуммировать затем по всем участкам. Сделать это элементарно, конечно, нельзя, но можно обойти все трудности.
Из второго закона Кеплера мы знаем, что за время $\Delta t$ радиус-вектор
планеты «заметает» площадь, равную $\dfrac L{2m}\Delta t$ (напомним, что $L=\text{const}$). Значит, период обращения можно вычислить, поделив площадь
эллипса на постоянную скорость «заметания»
$$
T=\dfrac{S_{\text{эллипса}}}{\dfrac L{2m}}.
$$
Так как эллипс получается из окружности, сжатой в одном направлении в $\dfrac ba$ раз, то площадь эллипса равна
$$
S_{\text{эллипса}}=S_{\text{круга}}\cdot\dfrac ba=\pi a^2\dfrac ba=\pi ab.
$$
Из этих формул получаем
$$
T=\dfrac{2\pi abm}L.
$$
Но $b=\dfrac L{\sqrt{2Em}}$, поэтому
$$
T=\pi a\sqrt{\dfrac{2m}E}, \tag{*}
$$
или, подставив сюда выражения для $a$ $\left(a=\gamma\dfrac{mM}{2E}\right)$
и заменив $\left(\dfrac{2E}m\right)^{3/2}$ на $v_0^3$, получим
$$
T=2\gamma\pi M\dfrac m{2E}\sqrt{\dfrac m{2E}}=2\dfrac{\pi\gamma M}{v_0^3}.
$$
Из этой формулы видно, что период обращения зависит только от величины
$v_0$. Если из одной и той же точки над поверхностью Земли выпущено
несколько одинаковых спутников в разных направлениях, но с одной и той же скоростью $v_0$, то все они одновременно (через время $T$) соберутся в той же точке.
Третий закон Кеплера
Если теперь в формулу (*) для периода обращения планеты вместо энергии
$E$ подставить её выражение через большую полуось $\left(E=\gamma
\dfrac{mM}{2a}\right)$, то получим
$$
T=2\pi a^{3/2}\dfrac1{\sqrt{\gamma M}}.
$$
Следовательно, $T^2$ пропорционально $a^3$, т. е. квадрат периода обращения
планеты пропорционален кубу большой полуоси эллипса. А это и есть третий
закон Кеплера.
В этой статье мы рассказывали понемногу о геометрии, об оптике и механике. Решите теперь задачи.
Оптическая задача
В одном из фокусов эллипсоида, внутренняя поверхность
которого зеркальна, находится точечный источник света. Построить изображение
этого источника для наблюдателя, находящегося во втором фокусе эллипсоида.
Геометрическая задача
Показать, что эллипс есть геометрическое место центров
окружностей, проходящих через фокус и касающихся заданной окружности
(направляющей окружности) (рис. 9).
Рисунок 9
На рисунке видно, что основания перпендикуляров $\rho_1$ и $\rho_2$ лежат на «главной окружности». Случайно ли это?
Космическая задача
Орбита спутника Земли имеет параметры: наибольшее расстояние
$R$, наименьшее расстояние $r$. Вычислить полную энергию и угловой момент
спутника. Найти скорости спутника на концах большой и малой осей.
Красивое построение
Рисунок на обложке журнала построен так: внутри окружности
выбрана точка, и из неё как из центра проведена окружность меньшего радиуса.
Из центра этой второй окружности проведены лучи до встречи с большой
окружностью. Через точку на каждом луче, лежащую посередине между двумя
окружностями, проведена хорда, перпендикулярная этому лучу. Пятно внутри
имеет форму эллипса.
Ответы, указания, решения
Оптическая задача
Если источник находится в фокусе $F_1$ (рис. 1), то для любой точки $A$ на эллипсоиде, в которую попадает луч, идущий из $F_1$,
расстояние $F_2F_1'$ между фокусом $F_2$ и изображением $F_1'$ источника
равно $2a$ ($F_1'$ — отражение $F_1$, относительно касательной $t$). То, что $F_1AF_2$ — прямая, было доказано в статье. Следовательно изображением
источника $F_1$, будет сфера радиуса $2a$ с центром в фокусе $F_2$.
Рисунок 1 к ответам
Геометрическая задача
Пусть большая окружность на рисунке 1 «направляющая», а маленькая проходит через фокус $F_1$, и касается большой. $A_1$ — центр
маленькой окружности. Нам нужно доказать, что $F_1A_1+A_1F_2=2a$ независимо
от положения точки $A_1$.
Так как $F_1A_1=A_1B$, то $BF_2=F_2A_1+A_1F_1=2a$ для любой
точки $A_1$.
Расстояние от центра эллипса до основания нормали $N$ к касательной $t$ всегда равно $\dfrac12F_2F_1'=a$, что видно из подобия
треугольников $F_1NO$ и $F_1F_1'F_2$.
Космическая задача
Нарисовав орбиту спутника, легко увидеть, что большая
полуось орбиты $a=\dfrac12(R+r)$, сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов $c=\dfrac12(R-r)$, а малая полуось
$$
b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{\dfrac14(R+r)^2-\dfrac14(R-r)^2}=\sqrt{Rr}.
$$
Зная $a$ и $b$, вычислить все требуемые величины не представляет труда.
