Кикоин А. К.

Вращательное движение телКикоин А. К. Вращательное движение тел // Квант. — 1971. — № 1. — С. 1‍—‍12.‍‍

Хорошо известно, что всякое тело может совершать два вида движения — поступательное и вращательное. Первое из них достаточно подробно изучается в школьном курсе физики. А вот вращательному движению «не повезло». Из-за недостатка времени ему уделяется очень мало внимания. Между тем вращательное движение встречается и в природе и в технике ничуть не реже поступательного. Во многих случаях реальное движение тел представляёт собой комбинации обоих видов движений. В других случаях поступательно движущиеся или даже покоящиеся тела имеют вращающиеся детали. Сюда относятся прежде всего все устройства, имеющие колеса, — от тачки и телеги до самолета и вертолета. А попробуйте найти станок, в котором бы что-нибудь не вращалось! Такой распространенный прибор, как часы, можно сказать, «битком набит» вращающимися сцепленными друг с другом колесиками.

Вращательное движение не редкость и в природе. Достаточно вспомнить о сложных вращательных движениях планет, их спутников, о вращении Солнца и, вероятно, других звезд. Заметим кстати, что в применении к планетам слово «вращение» употребляется по отношению к двум различным видам их движений. Говорят, например, что Земля вращается вокруг Солнца, но говорят также о вращении Земли вокруг своей оси. Что же, это одинаковые движения? Можно ли сказать, что оба они вызываются одними и теми же причинами? Известно, что Земля потому движется вокруг Солнца по траектории, близкой к окружности, что на нее действует сила притяжения к Солнцу. Но можно ли сказать, что эта же или подобная ей сила заставляет Землю совершать и вращение вокруг своей оси? Очевидно, что нет. В действительности движение Земли как раз можно рассматривать как комбинации поступательного и вращательного движений — поступательного движения вокруг Солнца и вращательного движения вокруг оси, проходящей через оба земных полюса.

В этой статье рассказывается о вращательном движении тел, о том, что отличает его от движения поступательного, и о том, чем сно на него походит.

Кинематика вращательного движения

Прежде всего напомним читателям то, что им уже известно о вращательном движении из школьного курса физики. Начнем с определения.

Вращательным движением тела называется такое его движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой — оси вращения.

Если ось вращения закреплена, то тело, как целое, не перемещается, и единственное что изменяется со временем — это угол поворота, который здесь играет такую же роль, какую играет перемещение какой-нибудь точки тела при его поступательном движении.

При повороте тела на угол $\phi$‍‍ каждая его точка проходит определенную дугу окружности. Если обозначить длину дуги через $S$‍,‍ то между значениями $S$‍‍ и $\phi$‍‍ существует простое соотношение $$ S = \phi r, $$ где $r$‍‍ — расстояние точки от оси вращения. Точки, расположенные на разных расстояниях $r$‍‍ от оси вращения, описывают различные по длине дуги, но угол $\phi$‍‍ один и тот же для всего тела.

Задача механики вращательного движения состоит в том, чтобы уметь определять угол поворота тела в любой момент времени, если известен начальный угол поворота. Для этого нужно знать быстроту изменения угла поворота, то есть угловую скорость, которую принято обозначать буквой $\omega$‍.‍ Для тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью, $$ \omega = \frac{\phi - \phi_0}{t}, $$ где $\phi-\phi_0$‍‍ — изменение угла поворота за промежуток времени в $t$‍‍ секунд. Если угловая скорость постоянна, то значение угла поворота в любой момент времени легко находится: $$ \phi = \phi_0 + \omega t; $$ если начальный угол поворота $\phi_0$‍‍ равен нулю, то $$ \phi = \omega t. $$

Это выражение подобно формуле $S = v t$‍‍ для равномерного поступательного движения. Следовательно, угловая скорость при вращательном движении играет такую же роль, какую для поступательного движения играет линейная скорость $v$‍.‍

Угловая скорость, так же как и линейная, может быть и непостоянной. Тогда, для того чтобы найти скорость в любой момент времени, нужно знать угловое ускорение, которое подобно линейному ускорению а определяется как быстрота изменения угловой скорости. При равноускоренном вращении $$ \alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} $$ где $\omega$‍‍ и $\omega_0$‍,‍ — значения угловой скорости в конце и в начале промежутка времени длительностью $t$‍‍ секунд.

Легко найти связь между угловыми скоростью и ускорением и их линейными «двойниками» $v$‍‍ и $a$‍.‍ Так как $\omega = \dfrac{\varphi}{t}$‍,‍ а $\varphi = \dfrac{S}{r}$‍,‍ то $\omega = \dfrac{S}{rt}$‍.‍ Но $\dfrac{S}{t} = v$‍,‍ следовательно, $$ \omega = \frac{v}{r} \quad \text{и} \quad v = \omega r. $$

Точно так же, поскольку $\alpha = \dfrac{\omega - \omega_0}{t}$‍,‍ а $\omega = \dfrac{v}{r}$‍,‍ то $\alpha = \dfrac{v - \omega_0}{rt}$‍.‍ Но $\dfrac{v - \omega_0}{t}$‍‍ равно линейному ускорению $a$‍,‍ так что $$ \alpha = \frac{a}{r} \quad \text{и} \quad a = \alpha r. $$

Таким образом, численные значения линейных величин $S$‍,‍ $v$‍‍ и $a$‍‍ для какой-либо точки вращающегося тела равны соответствующим значениям угловых величин (они относятся не к отдельным точкам, а ко всему телу), умноженным на радиус $r$‍‍ вращения этой точки.

Если пользоваться величинами $\varphi$‍,‍ $\omega$‍‍ и $\alpha$‍,‍ то можно решать задачи, относящиеся к вращению тел, применяя хорошо известные формулы кинематики поступательного движения, но заменив в них линейные величины угловыми. Приведем некоторые формулы кинематики поступательного движения и аналоги этих формул для вращательного:

Таблица

Напомним также, что угол поворота $\varphi$‍‍ измеряется в радианах. Тогда угловая скорость измеряется в радианах в секунду $(рад/сек)$‍.‍ Единица углового ускорения — радиан, деленный на секунду в квадрате $(рад/сек^2)$‍.‍

 

Описание вращательного движения, однако, неполно, если нам известны только численные значения указанных выше угловых величин. Для полного описания вращения нужно еще знать, вокруг какой оси и в каком направлении (по или против часовой стрелки) вращается тело. И то и другое будет определено, если считать и угол поворота и угловую скорость своеобразными векторными величинами. Принято считать, что вектор $\vec{\varphi}$‍,‍ так же как вектор $\vec{\omega}$‍,‍ направлен вдоль оси вращения, так что если задан вектор одной из этих величин, то тем самым задана и ось вращения. Направление же вращения определяется так называемым правилом буравика-штопора или правилом винта (это далеко не единственный в физике случай, когда приходится прибегать к «услугам» такого прибора). Оно состоит в следующем: если мысленно вращать рукоятку буравика так же, как вращается тело, то направление поступательного движения буравика покажет направление вектора угловой скорости $\vec{\omega}$‍.‍ Если, например, красная стрелка на рисунке 1 изображает вектор $\vec{\omega}$‍‍ для вращающегося диска, то это означает, что диск вращается так, как показано желтой стрелкой. Как обычно, длина вектора в избранном масштабе дает нам численное значение соответствующей угловой величины.

Рисунок 1

Угловое ускорение — тоже векторная величина. Если направление оси вращения в пространстве не меняется со временем, то вектор $\vec{\alpha}$‍,‍ так же как и вектор $\vec{\omega}$‍,‍ направлен вдоль оси вращения. В этом случае если угловая скорость возрастает со временем, то направление вектора $\vec{\alpha}$‍‍ совпадает с направлением вектора $\vec{\omega}$‍,‍ если же угловая скорость уменьшается, то направления векторов $\vec{\alpha}$‍‍ и $\vec{\omega}$‍‍ противоположны.

Динамика вращательного движения

Динамика поступательного движения изучает, как известно, причины появления у тел ускорений и позволяет определять их величины и направления. Динамика вращательного движения делает то же самое для углового ускорения. Если ускорение поступательно движущегося тела вызывается приложенной к нему силой, то причина появления углового ускорения тела — это момент приложенной к нему силы. С ним читатели знакомы по курсу физики 8 или 9 класса. Напомним, что численное значение момента силы относительно какой-нибудь оси равно произведению силы, приложенной к телу, на длину перпендикуляра, проведенного от оси к линии действия силы. Например, если к ободу плоского диска, изображенного на рисунке 2, приложена сила $F$‍,‍ вектор которой лежит в плоскости диска, то момент этой силы относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку $O$‍,‍ равен $Fr$‍.‍ Если бы ось проходила не через точку $O$‍,‍ а через точку $O_1$‍,‍ то момент этой же силы относительно новой оси был бы другим: он был бы равен $Fr_1$‍.‍ Если та же сила приложена так, как показано на рисунке 3, то ее момент относительно оси, проходящей через точку $O$‍‍ равен нулю, так как линия действия силы проходит через эту точку. Такая сила не может вызвать поворот вокруг этой оси, не может изменить угловое ускорение. Но эта же сила способна вызвать вращение диска вокруг оси, проходящей через точку $O_1$‍.‍

Рисунок 2,3

Момент силы — тоже векторная величина. И направление вектора момента силы определяется с помощью того же буравичка. А именно, направлением момента силы условливо считать то, в котором движется вдоль оси буравички (винт), если его рукоятка поворачивается так, как вращалось бы тело под действием приложенной к нему силы. Например, вектор момента силы $\vec{F}$‍‍ относительно оси, проходящей через точку $O$‍,‍ на рисунке 2 направлен перпендикулярно плоскости чертежа «от нас».

Как уже указывалось, законы механики Ньютона справедливы и для вращательного движения. Из того, что только что было сказано о моменте силы, следует, например, что закон Ньютона в применении к вращательному движению утверждает, что тело вращается с постоянной угловой скоростью или вовсе не вращается, если момент силы, действующей на него, или сумма моментов всех действующих на него сил равна нулю. Не сумма сил, а сумма моментов сил должна быть равна нулю, чтобы тело вращалось равномерно или вовсе не вращалось. Если, например, Земля вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси, то это значит, что среди действующих на нее сил нет таких, момент которых относительно оси ее вращения был бы отличен от нуля.

Обратимся теперь ко второму закону Ньютона.

Второй закон Ньютона для вращательного движения. Момент инерции

Для любой точки массы $m$‍‍ вращающегося тела справедлив, конечно, второй закон Ньютона, который имеет вид $$ \vec{F} = m\vec{a}. $$

Так как для вращательного движения, как мы знаем, существенна не сила, а момент силы, то умножим обе части равенства на $r$‍‍ — расстояние от оси вращения до линии действия силы. Обозначив момент силы через $M$‍,‍ получим $$ M = Fr = mar. $$

Линейное ускорение нам, конечно, нужно заменить угловым ускорением $\alpha$‍,‍ которое равно $\dfrac{a}{r}$‍.‍ Тогда уравнение второго закона Ньютона принимает вид $$ M = mr^2\alpha. $$

При рассмотрении всего тела возникает такая трудность. Как быть с расстоянием $r$‍‍ до оси вращения? Ведь в твердом теле бесчисленное множество точек. Если, например, вращающееся тело‍—‍диск (рис. 4) с осью вращения, проходящей через его центр, то от какой его точки отсчитывать $r$‍?‍ Быть может, от точки приложения силы? Но ведь силу можно приложить к различным точкам и получить при этом одно и то же значение момента.

Рисунок 4

Не ясно также, как быть с массой тела. Она распределена по всему телу, а радиус вращения $r$‍‍ относится к одной какой-то точке. Чтобы понять, как найти выход из этих трудностей, мешающих нам пользоваться вторым законом Ньютона для вращательного движения, отложим пока вопрос о вращении диска и займемся более простым случаем — вращением маленького шарика, прикрепленного к тонкому твердому стержню, вокруг точки $O$‍‍ (рис. 5). Стержень мы будем считать таким тонким, чтобы его массой можно было пренебречь, а шарик настолько малым по сравнению с длиной стержня, чтобы он мог считаться материальной точкой.

Рисунок 5

Теперь у нас сразу исчезнут все трудности. В формуле $$ M = mr^2 \alpha $$ $m$‍‍ — это масса шарика, а $r$‍‍ — это расстояние от шарика до оси вращения. Так как для данного шарика и стержня ни $m$‍,‍ ни $r$‍‍ не изменяются, то произведение $mr^2$‍‍ есть величина постоянная и его можно обозначить одной буквой. Выберем для этой величины букву $I$‍.‍ Тогда формула второго закона Ньютона принимает вид $$ M = I \alpha. $$

Бросается в глаза сходство этой формулы с формулой $$ F = ma. $$

Только сила $F$‍‍ заменена моментом силы, а вместо линейного ускорения $a$‍‍ в формулу входит угловое ускорение $\alpha$‍,‍ как это и должно быть, раз речь идет не о поступательном, а о вращательном движении. Роль же массы в этой формуле играет совсем новая, необычная величина, равная произведению массы на квадрат её расстояния до оси вращения.

Подобно тому как ускорение поступательно движущегося тела зависит, помимо силы, ещё и от массы ускоряемого тела, так угловое ускорение вращающегося тела зависит не только от момента силы, но и от величины $mr^2$‍,‍ являющейся, так сказать, вращательным «двойником» массы. Называется эта величина моментом инерции тела относительной оси. Для вращательного движения важна, значит, не только масса. Важно еще, насколько удалена эта масса от оси вращения. Ясно, что малая масса на большом удалении от оси вращения может получить такое же угловое ускорение при данном моменте силы, как большая масса, расположенная вблизи оси.

Все это относится как будто бы к шарику, вращающемуся на тонком стержне. Но в действительности формула оказывается верной и тогда, когда вращается диск, колесо, цилиндр и вообще любое «настоящее» твердое тело, которое тоже обладает определенным моментом инерции. Чтобы найти момент инерции тела относительно какой-нибудь оси, нужно мысленно разбить его на множество малых частей (в пределе бесконечно малых), для каждой из них определить произведение ее массы на квадрат расстояния от этой оси и все произведения сложить. Это и будет момент инерции всего тела. Ясно, что момент инерции тела тем больше, чем больше масса тех его частей, которые расположены вдали от оси. Иными словами, момент инерции тела зависит от того, как распределена масса тела по его объему. Для различных осей момент инерции одного и того же тела будет различным. Например, момент инерции стержня длины $l$‍‍ и массы $m$‍,‍ относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 6), равен $\dfrac{ml^2}{12}$‍.‍ А момент инерции того же стержня, относительно оси, проходящей через конец (рис. 7), в 4 раза больше и равен $\dfrac{ml^2}{3}$‍‍ : вокруг конца стержень вращать труднее, чем вокруг середины. «Труднее» — это значит, что для получения одного и того же углового ускорения потребуется больший момент силы.

Рисунок 6,7

Вычисление момента инерции — задача обычно трудная. Но для тел однородных и имеющих правильную геометрическую форму такое вычисление относительно некоторых осей вращения возможно, хотя и не всегда простыми способами. Для одного особенно простого случая мы такое вычисление приведем.

Вычислим момент инерции колеса, в котором почти вся масса сосредоточена в его ободе, относительно оси вращения, перпендикулярной плоскости колеса и проходящей через его центр. Примером может служить велосипедное колесо с тонкими спицами.

Разделим обод на отдельные малые части с массами $m_1, m_2, m_3$‍‍ и т. д. Каждую из них можно считать материальной точкой, расположенной на расстоянии $R$‍‍ от оси вращения, где $R$‍‍ — радиус колеса. Момент инерции каждой такой части равен $m_1R^2, m_2R^2, m_3R^2$‍‍ и т. д. Общий момент инерции всего колеса равен сумме моментов инерции его частей: $$ I = (m_1 + m_2 + m_3 + \ldots) R^2. $$ Но сумма $m_1 + m_2 + m_3 + \ldots$‍‍ равна, очевидно, массе всего колеса $m$‍.‍ Так что момент инерции колеса относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости, равен $$ I = mR^2. $$

Для тел произвольной формы или неоднородных по составу, или для относительно не столь «удобных», как в рассмотренном случае, осей вращения моменты инерции определяют опытным путем, например, по измеренному угловому ускорению при известном моменте силы‍. Как мы видим, определение массы тел — задача значительно более простая, чем определение ее вращательного «двойника» — момента инерции. Если масса определяется простым взвешиванием, то «взвешивание» для вращательного движения — довольно сложная операция, которая к тому же для одного и того же тела, но для разных осей вращения должна проводиться отдельно, а «весов» для такого «взвешивания» не существует.

Таблица 2

Момент количества движения, момент импульса

Итак, для вращательного движения второй закон Ньютона записывается в виде $M = I \alpha$‍,‍ где $M$‍‍ — момент силы, $I$‍‍ — момент инерции и $\alpha$‍‍ — угловое ускорение тела.

Но угловое ускорение выражается формулой $$ \alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}. $$

Поэтому формулу второго закона Ньютона можно записать в виде $$ M = \frac{I \omega - I \omega_0}{t}. $$

В таком виде формула эта означает, что момент силы равен изменению величины $I \omega$‍‍ в единицу времени. Но, как известно, второй закон Ньютона можно записать в виде $$ F = \frac{mv - mv_0}{t}, $$ где $mv$‍‍ — величина, называемая количеством движения или импульсом тела. Ясно, что импульс $mv$‍‍ также имеет аналог в динамике вращательного движения и этим аналогом является величина $I \omega$‍.‍ Это следует уже из того, что момент инерции $I$‍‍ играет при вращательном движении такую же роль, как масса в движении поступательном, а угловая скорость $\omega$‍‍ заменяет линейную скорость $v$‍.‍ Величина $L = I \omega$‍‍ называется поэтому моментом количества движения тела или моментом импульса. Это тоже векторная величина (так же, как и $\vec{\omega}$‍,‍ $\vec{F}$‍,‍ $\vec{\alpha}$‍,‍ $m\vec{v}$‍,‍ $\vec{M}$‍),‍ направленная так же, как вектор угловой скорости. Аналогично другим приведенным нами величинам, относящимся к вращательному движению, момент импульса различен относительно различных осей вращения.

Если тело имеет такую форму или размеры или такой радиус вращения, что можно говорить о вращении точки (например, шарик на тонком стержне, планета при ее вращении вокруг Солнца), то момент импульса легко связать с импульсом. В самом деле, момент инерции $I$‍‍ равен $mr^2$‍,‍ а угловая скорость $\omega$‍‍ равна $\dfrac{v}{r}$‍.‍ Поэтому $$ L = I \omega = \frac{mr^2 v}{r} = rmv. $$ Момент импульса точки, следовательно, равен по величине произведению радиуса $r$‍‍ окружности, по которой движется точка, на импульс $mv$‍.‍ Понятно, что для тела произвольной формы такое простое соотношение написать нельзя.

Закон сохранения момента импульса

Момент количества движения (момент импульса) похож на своего «двойника» в механике поступательного движения — импульс тела — еще и тем, что для него тоже выполняется закон сохранения.

Из формулы $$ \vec{M} = \frac{I\vec{\omega} - I\vec{\omega_0}}{t} $$ сразу видно, что если момент $\vec{M}$‍‍ внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то и изменение момента импульса $I\vec{\omega} - I\vec{\omega_0}$‍‍ тоже равно нулю, так что если тело не вращается, то никакие силы, момент которых относительно какой-либо оси равен нулю, не могут заставить его начать вращаться вокруг этой оси. Наоборот, если тело по каким-нибудь причинам уже вращается, то силы, момент которых относительно оси вращения равен нулю, не могут изменить момент импульса или прекратить вращение тела.

Как показывает опыт, это верно не только для одного тела, но и для любой группы взаимодействующих тел, на которую внешние тела не действуют с силами, моменты которых отличны от нуля. Такая группа тел называется, как мы знаем, замкнутой системой тел. Надо только иметь в виду, что «замкнутость» по отношению к вращению означает не отсутствие внешних сил, а отсутствие моментов внешних сил.

Интересным проявлением закона сохранения момента импульса является случай вращения не абсолютно твердого тела, в котором взаимные расстояния отдельных частей остаются неизменными, а, так сказать, «мягкого» тела, у которого внутренними силами можно изменить расстояние между его частями.

Когда, например, фигуристке (рис. 8) требуется увеличить скорость своего вращения, она прижимает руки к корпусу и тем самым уменьшает момент инерции тела относительно вертикальной оси вращения (масса рук оказывается ближе к этой оси). Так как это уменьшение момента инерции $I$‍‍ достигается не внешними, а внутренними силами, то момент количества движения $I \omega$‍‍ не может измениться. Поэтому угловая скорость $\omega$‍‍ увеличивается во столько же раз, во сколько раз фигуристке удалось уменьшить свой момент инерции. Наоборот, перед завершением вращения, когда скорость нужно уменьшить, фигуристка широко расставляет руки, увеличивая момент инерции своего тела. Таким же образом поступают танцовщицы при выполнении пируэтов, акробаты, когда они совершают сальто, и т. д. Интересные опыты такого рода можно провести с помощью так называемой скамьи Жуковского. Она представляет собой платформу, которая может с малым трением вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 9). Встав на такую вращающуюся платформу, можно, манипулируя руками, заметно изменять угловую скорость вращения.

Рисунок 8,9

Сохранение момента импульса означает сохранение не только численного значения величины $I \omega$‍.‍ Не нужно забывать, что момент импульса — величина векторная. Поэтому сохранение момента импульса означает также сохранение его направления. Но момент импульса направлен, как мы знаем, вдоль оси вращения. Поэтому всякое вращающееся тело, на которое не действуют внешние моменты сил, не может изменить и положение оси вращения. В этом «секрет» устойчивости катящегося колеса, волчков и т. д. Именно поэтому дискоболы (метатели диска), бросая свой снаряд, приводят его во вращение. Это позволяет диску лететь, не кувыркаясь. Способность вращающихся тел сохранять положение оси своего вращения (при отсутствии моментов внешних сил) широко используется в технике. На этом свойстве основано применение так называемых гироскопических компасов, всевозможных стабилизаторов и т. д. Гироскопический компас — это в сущности вращающееся тело. Если при пуске в ход оно было установлено так, чтобы ось вращения была ориентирована на север, то она будет сохранять это направление лучше магнитного компаса, на который влияют и железный корпус корабля и изменения магнитного поля Земли. На кораблях иногда устанавливают гироскопические стабилизаторы, которые представляют собой огромные многотонные колеса, приводимые во вращение мощными двигателями. Стремясь сохранить положение оси вращения, такой стабилизатор препятствует качке корабля. Важные применения находят гироскопические стабилизаторы в технике космических полетов, в автоматических устройствах самого различного назначения.

Кинетическая энергия вращающихся тел

Вращающееся тело — это движущееся тело, так как все его части, кроме точек, расположенных на оси вращения, движутся. Поэтому оно обладает кинетической энергией. Чтобы найти выражение для кинетической энергии, начнем опять с вращения маленького шарика на тонком стержне, то есть с вращения точки. Кинетическую энергию в этом случае можно записать в обычной форме $$ K = \frac{mv^2}{2}, $$ где $m$‍‍ — масса шарика, а $v$‍‍ — его линейная скорость. Но так как $v = \omega r$‍,‍ то выражение для $K$‍‍ можно написать в виде $$ K = \frac{m\omega^2r^2}{2}. $$ В это выражение опять входит величина $mr^2$‍‍ — момент инерции шарика. Поэтому кинетическая энергия равна $$ K = \frac{I\omega^2}{2}. $$

Эта формула напоминает нам снова, что при вращательном движении момент инерции играет роль массы, а угловая скорость — роль линейной скорости.

Полученная формула для кинетической энергии верна не только для вращающегося шарика на стержне, но и для всякого тела, у которого масса распределена по всему объему. В самом деле, момент инерции тела мы можем получить, сложив моменты инерции его частей относительно оси вращения. Угловая же скорость одна и та же для всего тела. Поэтому, так как кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий его частей, то для всякого вращающегося тела кинетическая энергия определяется равенством $K = \dfrac{I\omega^2}{2}$‍.‍

Во многих случаях тела совершают одновременно и вращательное и поступательное движение. Наиболее известный пример — движение колес повозок, автомашин и т. д. В этом случае у вращающегося тела нет закрепленной оси: она сама движется поступательно. Для рассматриваемого примера катящегося колеса, у которого ось вращения проходит через центр тяжести (центр масс), общая кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения $$ K = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}, $$ где $v$‍‍ — скорость поступательного движения центра тяжести тела, а $I$‍‍ — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.

Тот факт, что тело совершает вращательное движение или одновременное вращательное и поступательное движение, не может, разумеется, помешать ему иметь еще и потенциальную энергию, если оно взаимодействует с какими-то другими телами. Поэтому для полной энергии тела, движущегося поступательно и одновременно вращающегося, можно написать уравнение $$ E = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2} + \textit{П}. $$

Как и в других случаях, изменение энергии вращающегося тела может произойти только тогда, когда силы, действующие на него, совершают работу. Нетрудно догадаться, что работа, совершаемая при вращении тела, выражается формулой $$ A = M\varphi, $$ аналогичной известному выражению для работы при поступательном движении. Сюда, однако, не входит косинус угла, потому что векторы момента силы $M$‍‍ и угла поворота всегда лежат на одной прямой — оси вращения и угол между ними может быть либо 0°, либо 180°. В первом случае работа силы положительная (угловая скорость растет), во втором — отрицательная (скорость вращения уменьшается).

В заключение опять приведем для сопоставления некоторые формулы, известные читателям из механики поступательного движения, и аналогичные им формулы, относящиеся к вращательному движению.

Таблица

Задачи и вопросы

1. В каких единицах измеряется момент инерции?
2. С наклонной плоскости скатываются без проскальзывания два цилиндра одинаковых диаметров и масс. Один из них свинцовый и имеет пробковую оболочку, другой — пробковый со свинцовой оболочкой. Какой цилиндр скатится с плоскости за меньшее время?
3. Колесо, момент инерции которого равен 0,01 единицы СИ, вращается с угловой скоростью 4 $об/сек$‍.‍ Каков должен быть момент силы трения, чтобы вращение колеса прекратилось после 5 оборотов?
4. Приливы в морях и океанах действуют на вращающуюся Землю подобно тормозным колодкам и создают тормозящую силу трения. Из-за этого действия приливов через 100 лет продолжительность суток на Земле будет на 1 секунду больше нынешней. Вычислить приливную силу трения.
5. Судовой гироскопический стабилизатор радиусом $R=2 м$‍‍ и массой $M=120 m$‍‍ приводится во вращение мотором. Какая мощность требуется для того, чтобы в течение 10 часов довести скорость вращения стабилизатора до 13 $об/сек$‍?‍ Считать, что масса стабилизатора сконцентрирована на его ободе (в этом случае момент инерции равен $MR^2$‍).‍
6. Однородный шар радиуса $R$‍‍ и массы $M$‍‍ в начальный момент пущен по плоскости так, что он скользит по ней без качения со скоростью $v_0$‍.‍ Между шаром и плоскостью существует трение, коэффициент которого $k$‍.‍ Какое расстояние пройдет шар, прежде чем прекратится его проскальзывание относительно плоскости? Какова будет к этому моменту скорость шара?
7. Два иллюминатора сферического спутника расположены в диаметрально противоположных точках оболочки. Космонавт идет из центра корабля по радиальному трапу к одному из иллюминаторов, затем идет вдоль борта корабля ко второму иллюминатору и, наконец, возвращается по радиальному трапу на свое место в центре корабля. На какой угол поворачивается при этом корабль относительно звезд, если масса корабля $M$‍,‍ его радиус $R$‍,‍ масса космонавта $m$‍‍ и можно считать, что вся масса корабля сосредоточена в его оболочке.
8. Для замедления вращения спутников предлагается использовать следующее устройство. К боковой поверхности спутника прикрепляются на нитях длины $l$‍‍ два груза массы $m$‍‍ каждый. Грузы одновременно отпускают. Они отлетают от спутника и в тот момент, когда нити натягиваются, слетают с крючков к которым прикреплены. При какой длине нитей скорость вращения спутника после этой операции уменьшится в $n$‍‍ раз?

   Считать, что спутник — это цилиндр массы $M$‍‍ и радиуса $R$‍,‍ вся масса которого сосредоточена в боковой оболочке.