Готман Э. Г.

Вспомогательная окружностьГотман Э. Г. Вспомогательная окружность // Квант. — 1971. — № 1. — С. 28‍—‍31.‍‍

Пример 1. В остроугольном треугольнике проведены высоты $AP$‍,‍ $BQ$‍‍ и $CR$‍.‍ Доказать, что $\angle ABQ=\angle APR$‍‍‍.

Решение. Пусть $H$‍‍ — точка пересечения высот треугольника $ABC$‍‍ (рис. 1). Так как $\angle APB$‍‍ и $\angle CRB$‍‍ прямые, то около четырёхугольника $BPHR$‍‍ можно описать окружность, приняв $BH$‍‍ за диаметр. Построив её, замечаем, что $\angle ABQ=\angle APR$‍‍ (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Таким образом, построение вспомогательной окружности позволило использовать теорему о вписанных углах и благодаря этому установить связь между указанными в задаче углами.

Выясните, как изменится результат, если $\angle B$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ тупой.

Решите самостоятельно несколько аналогичных задач.

1. Из произвольной точки $M$‍‍ катета $BC$‍‍ прямоугольного треугольника $ABC$‍‍ опущен на гипотенузу $AB$‍‍ перпендикуляр $MN$‍.‍ Доказать, что $\angle MAN=\angle MCN$‍.‍

2. Доказать, что прямая, соединяющая вершину прямого угла прямоугольного треугольника с центром квадрата, внешне построенного на гипотенузе, делит прямой угол треугольника пополам.

3. Из произвольной точки $M$‍‍ внутри данного угла опущены перпендикуляры $MP$‍‍ и $MQ$‍‍ на стороны угла. Из вершины угла $A$‍‍ опущен перпендикуляр $AK$‍‍ на отрезок $PQ$‍.‍ Доказать, что $\angle KAP=\angle MAQ$‍.‍

Пример 2. Доказать, что отрезок, соединяющий основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Решение. Пусть $AA_1$‍‍ и $BB_1$‍‍ — высоты остроугольного треугольника $ABC$‍‍ (рис. 2). $\angle AA_1B$‍‍ и $\angle AB_1B$‍‍ прямые, поэтому окружность, построенная на стороне $AB$‍‍ треугольника как на диаметре, пройдёт через точки $A_1$‍‍ и $B_1$‍.‍ Далее, $\angle ABC=180^\circ-\angle AB_1A_1$‍,‍ $\angle A_1B_1C=180^\circ-\angle AB_1A_1$‍,‍ поэтому $\angle ABC=\angle A_1B_1C$‍,‍ и треугольники $ABC$‍‍ и $A_1B_1C$‍‍ подобны.

Эту задачу можно решить и без вспомогательных построений, если заметить, что треугольники $AA_1C$‍‍ и $BB_1C$‍‍ подобны, и записать пропорцию $$ \frac{A_1C}{AC}=\frac{B_1C}{BC}. $$

Решите каждую из двух следующих задач обоими способами.

4. Из вершины $A$‍‍ параллелограмма $ABCD$‍‍ проведены высоты $AM$‍‍ и $AN$‍.‍ Доказать, что треугольники $AMN$‍‍ и $ABC$‍‍ подобны.

5. Из основания $H$‍‍ высоты $CH$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ опущены на стороны $AC$‍‍ и $BC$‍‍ перпендикуляры $HM$‍‍ и $HN$‍.‍ Доказать, что треугольник $CMN$‍‍ подобен треугольнику $ABC$‍.‍

Иногда выгодно описать окружность и около треугольника.

Пример 3. Доказать, что квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением заключающих её сторон и произведением отрезков третьей стороны, на которые она делится биссектрисой.

Решение. Около треугольника $ABC$‍‍ опишем окружность и продолжим биссектрису $CD$‍‍ треугольника до встречи с окружностью в точке $E$‍‍ (рис. 3). Пусть $BC=a$‍,‍ $AC=b$‍,‍ $AD=m$‍,‍ $BD=n$‍,‍ $CD=l$‍,‍ $DE=x$‍.‍

По условию $\angle ACE=\angle BCE$‍,‍ кроме того, $\angle AEC=\angle ABC$‍,‍ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники $ACE$‍‍ и $BCD$‍‍ подобны и справедливо равенство $\dfrac{l+x}{b}=\dfrac{a}{l},$‍‍ откуда $l^2=ab-lx$‍.‍ Хорды $AB$‍‍ и $CE$‍‍ пересекаются в точке $D$‍.‍ Поэтому выполняется равенство $lx=mn$‍.‍ Следовательно, $l^2=ab-mn$‍.‍

Пример 4. Высота и медиана треугольника, проведённые из одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный.

Решение. Пусть высота $CH$‍‍ и медиана $CM$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ образуют со сторонами $AC$‍‍ и $BC$‍‍ равные углы (рис. 4). Опишем около треугольника $ABC$‍‍ окружность и продолжим медиану $CM$‍‍ до встречи с окружностью в точке $D$‍.‍ Рассмотрим треугольники $ACH$‍‍ и $BCD$‍.‍ Так как $\angle ACH=\angle BCM$‍‍ по условию и $\angle A=\angle D$‍,‍ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то $\angle AHC=\angle CBD=90^\circ$‍.‍ Следовательно, $CD$‍‍ — диаметр окружности.

Центр окружности лежит на диаметре $CD$‍‍ и на перпендикуляре $m$‍‍ к стороне $AB$‍‍ в её середине $M$‍.‍ Так как медиана $CM$‍‍ не является высотой, то прямые $CD$‍‍ и $m$‍‍ имеют только одну общую точку $M$‍,‍ которая и является центром описанной окружности. Следовательно, $AB$‍‍ — диаметр окружности и $\angle ACB=90^\circ$‍.‍

Используйте полученный результат для решения следующих двух задач.

6. Определить углы треугольника, в котором

1. медиана и высота, проведённые из одной вершины, делят угол на три равные части;
2. медиана, биссектриса и высота, проведённые из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части.

7. Построить треугольник, зная углы, которые образуют медиана, биссектриса и высота, выходящие из одной вершины.

Пример 5. Построить равносторонний треугольник так, чтобы вершины его лежали соответственно на трёх данных параллельных прямых.

Известно несколько решений этой интересной задачи с использованием вращения вокруг точки, подобия и алгебраического метода. Весьма краткое решение получается с помощью построения вспомогательной окружности.

Решение. Пусть $ABC$‍‍ — искомый равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на параллельных прямых $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ (рис. 5). Окружность, описанная около него, пересекает прямую $c$‍,‍ кроме точки $C$‍,‍ ещё в некоторой точке $D$‍.‍ Тогда на основании свойства вписанных углов имеем $\angle ADC=\angle ABC=60^\circ$‍.‍

Отсюда вытекает следующее построение. Из произвольной точки $D$‍‍ прямой $c$‍‍ проведём лучи, образующие с прямой $c$‍‍ углы $60^\circ$‍‍ и $120^\circ$‍.‍ Пусть один из лучей пересечёт прямую $a$‍‍ в точке $A$‍‍ и прямую $b$‍‍ в точке $B_1$‍,‍ а другой пересечёт прямую $b$‍‍ в точке $B$‍.‍ Тогда отрезок $AB$‍‍ будет стороной треугольника $ABC$‍.‍

Отложим на прямой $c$‍‍ отрезок $DC$‍,‍ равный отрезку $AB_1$‍,‍ так, чтобы точки $C$‍‍ и $A$‍‍ лежали по одну сторону от прямой $BD$‍.‍ Тогда точка $C$‍‍ — третья вершина треугольника $ABC$‍,‍ так как треугольники $ABB_1$‍‍ и $BCD$‍‍ равны, откуда следует, что $AB=BC$‍‍ и $\angle ABC=60^\circ$‍.‍

Таким образом, приём построения вспомогательной окружности целесообразно применять и при решении некоторых задач на построение.

Рассмотрим ещё одну более сложную задачу, при решении которой самое трудное — догадаться описать около квадратов окружности.

Пример 6. На сторонах $AC$‍‍ и $BC$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ вне его построены квадраты $ACA_1A_2$‍‍ и $BCB_1B_2$‍.‍ Доказать, что прямые $AB_1$‍,‍ $A_1B$‍‍ и $A_2B_2$‍‍ пересекаются в одной точке, и определить углы между этими прямыми.

Решение. Если $\angle ACB=90^\circ$‍,‍ то справедливость теоремы очевидна. Прямые $AB_1$‍‍ и $A_1B$‍‍ перпендикулярны и каждая из них пересекает прямую $A_2B_2$‍‍ в точке $C$‍‍ под углом $45^\circ$‍‍ (рис. 6).

Если $\angle ACB\ne90^\circ$‍,‍ то окружности, описанные около квадратов, имеют кроме точки $C$‍‍ ещё одну общую точку $C_1$‍,‍ которая как раз и оказывается точкой пересечения прямых $AB_1$‍,‍ $A_1B$‍‍ и $A_2B_2$‍‍ (рис. 7). Действительно, $\angle A_2C_1C=90^\circ$‍,‍ как вписанный, опирающийся на полуокружность. Аналогично $\angle CC_1B_2=90^\circ$‍.‍ Поэтому $\angle A_2C_1C+\angle CC_1B_2=180^\circ$‍,‍ т. е. лучи $C_1A_2$‍‍ и $C_1B_2$‍‍ составляют прямую.

Точно так же доказывается, что точка $C_1$‍‍ лежит на прямых $AB_1$‍‍ и $A_1B$‍.‍

Рассматривая полученные вписанные углы, находим, что прямые $AB_1$‍‍ и $A_1B$‍‍ взаимно перпендикулярны и каждая из этих прямых образует с прямой $A_2B_2$‍‍ угол $45^\circ$‍.‍

Следующая задача имеет много общего с предыдущей.

8. На сторонах $AB$‍,‍ $BC$‍‍ и $CA$‍‍ произвольного треугольника $ABC$‍‍ вне его построены равносторонние треугольники $ABC_1$‍,‍ $BCA_1$‍‍ и $CAB_1$‍.‍ Доказать, что прямые $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍,‍ $CC_1$‍‍ пересекаются в одной точке и каждая из них образует с другой угол $60^\circ$‍.‍

9. Доказать, что если два противоположных угла четырёхугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче второй диагонали.

Приведём ещё две задачи на максимум и минимум, для решения которых также целесообразно определённым образом построить вспомогательную окружность.

10. На одной стороне угла с вершиной в точке $S$‍‍ даны точки $A$‍‍ и $B$‍.‍ Найти на другой стороне точку $C$‍,‍ из которой отрезок $AB$‍‍ виден под наибольшим углом.

11. Из произвольной точки $M$‍,‍ лежащей на стороне $AB$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ (или на её продолжении), проведены перпендикуляры $MP$‍‍ и $MQ$‍‍ к сторонам $AC$‍‍ и $BC$‍.‍ При каком условии отрезок $PQ$‍‍ будет наименьшим?

Таким образом, разнообразные геометрические задачи решаются с помощью одного и того же приёма. Построение вспомогательной окружности позволяет увеличить число теорем, которыми можно пользоваться при решении задачи, и благодаря этому отыскивать зависимость между элементами фигуры.